Equations et systèmes différentiels 20 - 1 Sommaire 1. Syst. Différentiels Linéaires du 1er ordre 1 1.1. Système linéaire du premier ordre . . . 1 1.2. Cas où A est diagonalisable . . . . . . . 1 1.3. A est diagonalisable sur C, pas sur R . . 2 1.4. A triangularisable, non diagonalisable . 3 1.5. Cas d’un système avec second membre 3 2. Eq. Différentielles Linéaires du 2nd ordre 4 2.1. Linéaire du second ordre . . . . . . . . . 4 2.2. Existence des solutions . . . . . . . . . . 4 2.3. Recherche des solutions . . . . . . . . . 5 2.4. Recollement de solutions . . . . . . . . . 6 3. Eq. Différentielle non Linéaire du 1er ordre 7 3.1. Eq. différentielle du premier ordre . . . 7 3.2. Premier ordre à variables séparables . . 7 3.3. Système autonome . . . . . . . . . . . . 8 4. Solutions Approchées d’une Eq. Diff. 9 4.1. Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . 9 4.2. Autres équations différentielles . . . . . 9 4.3. Problèmes de la méthode . . . . . . . . . 9 5. Compléments 10 5.1. Avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.2. Pour les physiciens . . . . . . . . . . . . 10 5.3. Les mathématiciens du chapitre . . . . . 11 Ce chapitre étudie trois types différents d’équations et systèmes différentiels : • Les systèmes linéaires du premier ordre à coefficients constants. • Les équations différentielles linéaires d’ordre 2. • Les équations différentielles non linéaires du premier ordre. Même si les fonctions cherchées peuvent être à valeur complexe, la variable est bien sûr réelle ! D’autre part, les solutions d’un système ou d’une équation différentiels n’ont de sens que sur un intervalle. 1. Systèmes Différentiels Linéaires du 1er ordre 1.1. Système linéaire du premier ordre Définition : Soit A est une matrice carrée d’ordre n à coéfficients dans R ou C, et : X(t) = � � � � � x1(t) x2(t) ... xn(t) � � � � �, un vecteur de classe C k sur I un intervalle de R. Le système linéaire d’ordre 1 à coefficients constants et sans second membre est : X′(t) = AX(t). Résoudre ce système, c’est trouver tous les vecteurs X (t) qui le vérifient. On ne traite que les systèmes à coefficients constants, c’est à dire où A ne dépend pas de t. 1.2. Cas où A est diagonalisable Théorème : Soit A est une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans K (R ou C), diagonalisable. On note (λ1,λ2, . . . ,λn) les valeurs propres et (U1,U2, . . . ,Un) une base de vecteurs propres associés. Alors, l’ensemble des solutions de X′ = AX, sur I un intervalle quelconque, est un K-espace vectoriel de dimension n, et : X(t) = α1eλ1tU1 +α2eλ2tU2 + · · · +αneλntUn Si, de plus, on fixe la condition initiale X (0) = X0, la solution existe et est unique. Démonstration : On appelle P la matrice de passage dont la i`eme colonne est le vecteur Ui, alors, P−1AP = D, matrice diagonale des λi. On pose : Y = P−1X, X = PY, et on a : Y′ = P−1X′, X′ = PY′ car P est constant, puisque A est constant. X′ = AX PY′ = APY Y′ = P−1APY = DY Cours de Spé T.S.I. c⃝ Christophe Caignaert – Lycée Colbert – 59200 Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr