Structures alg´ebriques dynamiques, espaces topologiques sans points et programme de Hilbert Henri LOMBARDI Universit´e de Franche-Comt´e. henri.lombardi@univ-fcomte.fr http ://hlombardi.free.fr/ Octobre 2003. R´esum´e Une mani`ere pertinente de revisiter le Programme de Hilbert serait la sui- vante : (( donner une s´emantique constructive pour les math´ematiques classiques )). Plus pr´ecis´ement donner une interpr´etation syst´ematique des preuves classiques abstraites (qui utilisent le principe du tiers exclu et l’axiome du choix) au sujet des objets abstraits, en terme de preuves constructives au sujet de contreparties constructives de ces objets abstraits. Si ce programme est rempli, nous sommes capables (( `a la fin de l’histoire )) d’extraire des preuves constructives de r´esultats concretr la reference 18 parues abstraites de ces r´esultats. Les structures alg´ebriques dynamiques, ou ce qui revient `a peu pr`es au mˆeme les th´eo- ries g´eom´etriques, semblent ˆetre un bon outil pour r´ealiser ce travail. Dans cette optique, les objets abstraits des math´ematiques classiques sont remplac´es par des sp´ecifications incompl`etes mais concr`etes de ces mˆemes objets. La structure des th´eories g´eom´etriques donne naissance de mani`ere naturelle `a des treillis distributifs et `a des espaces topologiques sans points. Les objets abstraits utilis´es par les math´ematiques classiques correspondent aux points classiques de ces espaces sans points. Dans cet article, nous illustrerons ce ph´enom`ene principalement avec le spectre de Zariski des treillis distributifs et celui des anneaux commutatifs, en indiquant notamment un ´equivalent constructif de la notion de dimension de Krull. Nous insistons sur le caract`ere extrˆemement g´en´eral de l’interp´etation des objets abs- traits id´eaux des math´ematiques classiques comme des points d’espaces spectraux associ´es `a des treillis distributifs qui sont d´efinis de fa¸con naturelle et concr`ete. Souligons deux faits d’exp´erience importants. Tout d’abord, les preuves abstraites au sujet des points de ces espaces sans points peuvent en g´en´eral (toujours ?) ˆetre relues comme des preuves concernant les parties constructibles de ces espaces. Enfin, les espaces de fonctions continues sur ces espaces sans points sont souvent utilis´es dans d’´el´egantes th´eories abstraites. Ces espaces de fonctions sont bien d´efinis constructivement. Cela tient au (( th´eor`eme de compacit´e )) qui nous dit que dans le cadre en question (( tout est fini )). La relecture constructive des preuves abstraites n’est alors rien d’autre que la constatation que les axiomes g´eom´etriques sont utilis´es de mani`ere correcte. 1