Chapitre 6 Les ´equations diff´erentielles Ce chapitre est consacr´e `a l’´etude des ´equations diff´erentielles, lesquelles jouent un rˆole fondamental en mod´elisation pour la biologie, la chimie, la physique et l’ing´enierie. Ces mod`eles sont facilement param´etrisables (`a partir de donn´ees exp´erimentales), ce qui justifie leur popularit´e et leur large utilisation. En outre, ils fournissent en g´en´eral des informations pr´ecieuses sur les quantit´es observables (quantit´es qui peuvent ˆetre mesur´ees) `a condition d’obtenir une bonne estimation de la solution. Nous pr´esentons ici les sch´emas classiques permettant de fournir des solutions num´eriques suffisam- ment pr´ecises pour des probl`emes issus de la mod´elisation en physique, chimie ou biologie. Nous proposons ´egalement une ´etude math´ematique justifiant la pr´ecision des algorithmes. 6.1 Introduction et rappels th´eoriques 6.1.1 Le pont de Tacoma aux ´Etats-Unis C’est en juillet 1940 que le pont suspendu de Tacoma dans l’´Etat de Washington (´Etats-Unis) est achev´e et ouvert au trafic automobile. D`es les premiers jours, le pont commence `a osciller de mani`ere verticale mais ceci n’est pas vraiment surprenant pour un pont suspendu, les jours passent alors sans qu’aucun probl`eme ne soit d´etect´e. Ce- pendant, un matin de novembre 1940 la situation se complique : le pont commence `a onduler durant plusieurs heures, les cˆables maintenant le tablier du pont se soul`event p´eriodiquement de haut en bas. Un peu plus tard, une pi`ece du pont se casse brutale- ment, le pont continue `a osciller mais dans le mˆeme temps la chauss´ee se d´eforme de mani`ere inqui´etante. Par moment, un bord de la chauss´ee domine de plusieurs m`etres l’autre bord et le pont est ´evacu´e d’urgence : il finit par s’´ecrouler. Les ing´enieurs se sont alors pench´es sur les raisons qui ont conduit le pont `a s’´ecrouler. Pour cela, il s’agit de mod´eliser les mouvements du pont en recensant les ph´enom`enes physiques qui agissent sur le pont. Par exemple, un mod`ele relativement simple consiste `a ´etudier l’´evolution au cours du temps d’une coupe transversale du pont de Tacoma, les variables sont alors l’angle de rotation Z(t) du segment transverse par rapport `a l’axe horizontal et le d´eplacement du centre de gravit´e y(t) par rapport `a la position d’´equilibre (voir Figure 6.1). Nous supposons que les cˆables r´esistent `a la force appliqu´ee lorsqu’il subit une ´elongation 223