\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\usetikzlibrary{calc,shapes,decorations.text}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    colorlinks=true,
    linkcolor=blue
}

\newcommand{\mylink}{\href{https://mosaid.xyz/cc}{www.mosaid.xyz}}

\definecolor{PaleTurquoise}{HTML}{AFEEEE} % Pale Turquoise
\definecolor{DarkGreen}{HTML}{006400} % Dark Green


\newcolumntype{C}{>{\Centering\arraybackslash}X}

\newcommand{\tb}{\tikz[baseline=-0.6ex] \fill (0,0) circle (2pt);}

\newcommand{\caa}[2][magenta]{%
    \noindent\hspace*{0.2cm}
    \begin{tikzpicture}[scale=1, transform shape]
        \node[font=\bfseries\large\color{#1},inner sep=1pt] (title) at (0,0) {\textbf{#2}};
        \fill[#1]
            ($(title.south west) + (0,-0.1)$) --
            ($(title.south east) + (0.3,-0.1)$) coordinate (AA) --
            ($(title.south east) + (0,-0.2)$) --
            ($(title.south west) + (0.3,-0.2)$) -- cycle;
    \end{tikzpicture}\\[-0.1cm]
}


\newcommand{\stamp}[2]{
\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
\coordinate (A) at (#1,#2);
\draw[red!50] (A) circle (1.9cm);
% Draw the inner circle
\draw[red!50] (A) circle (1.4cm);
% Draw the curved line
\draw[red!50, decorate, decoration={text along path,
	text={|\fontspec{DejaVu Sans}\color{red!75}\bfseries|★MOSAID RADOUAN★},
	text align={align=center}, raise=-3pt}] (A) ++ (180:1.6cm) arc (180:0:1.6cm);
\draw[decorate, decoration={text along path,
	text={|\fontspec{DejaVu Sans}\color{red!75}\bfseries|∞★~mosaid.xyz~★∞ },
	text align={align=center}, raise=-6.5pt}] (A) ++ (180:1.53cm) arc (-180:0:1.53cm);
\node[red!75,font=\fontsize{48}{48}\fontspec{DejaVu Sans}\bfseries\selectfont] at (A) {✷};
\end{tikzpicture}
}


\newtcolorbox[auto counter, number within=section]{tcexe}[2][]{
    colframe=PaleTurquoise,                % Frame color
    colback=PaleTurquoise!40,              % Background color
    coltitle=black,                % Title text color
    colbacktitle=PaleTurquoise!80,         % Title background color
    fonttitle=\bfseries,           % Title font style
    enhanced,
    boxrule=0.8mm,                 % Frame thickness
    titlerule=0.5mm,               % Title frame thickness
    title={#2},% Default title format
    titlerule style=PaleTurquoise,         % Title frame color
    attach boxed title to top left={yshift=-4mm, xshift=4mm},
    boxed title style={
        colframe=PaleTurquoise,            % Title frame color
        sharp corners,             % Rounded corners
        rounded corners,
    },
    before upper=\vspace{2mm},     % Space between title and content
    boxsep=2pt,                    % Padding
    before skip=1pt, after skip=0pt, % Margins
    breakable,                     % Allow box to break across pages
    #1,                             % User-provided options
}



\everymath{\displaystyle}
\setstretch{1.2}

\begin{document}
\noindent
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{} lCr @{}}
	Lycee Taghzirt\textbf{/}Prof MOSAID &
	2024-2025&
	TCSF\\
	\bottomrule
\end{tabularx}
\mylink \hfill \mylink\\
\begin{tcexe}{Exercice - représentation paramétrique d'une droite}
Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \).\\
on considère les points \( A(-2;1) \), \( B(0;-2) \), \( C(1;4) \), et les vecteurs \(\vec{u}(-2;3)\) et \(\vec{v}(4;-6)\).

Soit
$
\left\{
\begin{aligned}
x &= 2 - t \\
y &= 1 + t
\end{aligned}
\right.
\quad t \in \mathbb{R}.
$
~~~ une représentation paramétrique d'une droite $(\Delta)$

\begin{enumerate}
    \item Construire la droite \( (D) \) passant par \( A \) et dirigée par \(\vec{u}\)
	    et la droite $(\Delta)$
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Donner une représentation paramétrique de la droite \( (D) \).
	\item Donner 3 points appartenant à la droite \( (D) \).
        \item Les points \( B \) et \( C \) appartiennent-ils à la droite \( (D) \) ?
    \end{enumerate}

    \item
    \begin{enumerate}
        \item Vérifier si les  vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
        \item Donner une représentation paramétrique pour \( D(C; \vec{v}) \). Qu'observez-vous ?
    \end{enumerate}

    \item Déterminer une équation paramétrique pour la droite \( (AC) \).
\end{enumerate}
\end{tcexe}
\vspace*{0.5cm}
\caa{Solution}
\hspace*{2cm} Solution is in the next page, don't cheat, make a little effort with the exercise first\\
\begin{center}
\stamp{0}{-1}
\end{center}
\newpage
\textbf{1}~$-$ La figure
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
    % Dessin du repère
    \draw[help lines, step=0.5, color=gray!30] (-3, -2.5) grid (3, 4.5); % Grille pour l'aide
    \draw[->] (-4, 0) -- (5, 0) node[below] {$x$}; % Axe x
    \draw[->] (0, -2.5) -- (0, 4.5) node[left] {$y$}; % Axe y
    \draw[thick] (0, 0) node[below left] {$O$}; % Origine
    \draw[thick,->] (0,0)--(1,0) node[below] {$\vec i$};
    \draw[thick,->] (0,0)--(0,1) node[left] {$\vec j$};

    % Points
    \coordinate (A) at (-2, 1);
    \coordinate (B) at (0, -2);
    \coordinate (C) at (1, 4);
    \coordinate (DA) at (2, 1);
    \coordinate (DB) at (0, 3);

    % Vecteur u
    \coordinate (U) at (-2, 3); % u(2, 3)
    \coordinate (V) at (4, -6); % v(4, -6)
    \coordinate (W) at (-1, 1); % w(2, 1)

    % Tracé des points
    \fill[red] (A) circle (2pt) node[below left ] {$A(-2,1)$};
    \fill[blue] (B) circle (2pt) node[above right] {$B(0, -2)$};
    \fill[green!60!black] (C) circle (2pt) node[above right] {$C(1, 4)$};

    % Tracé du vecteur u
    \draw[->, thick, purple] (0, 0) -- (U) node[right] {$\vec{u}(-2, 3)$};
    \draw[->, thick, DarkGreen] (0, 0) -- (W) node[left] {$\vec{w}(1, 2)$};
    % la droite (D)
	\draw[thick] ($(A)!1.2!(B)$) -- ($(B)!1.5!(A)$) node[above] {$(D)$};
    % la droite (Delta)
	\draw[thick] ($(DA)!1.5!(DB)$) -- ($(DB)!2!(DA)$) node[above right] {$(\Delta)$};

\end{tikzpicture}
\end{figure}
\stamp{12}{-3}\\
\noindent
\textbf{2.a}~$-$ La représentation paramétrique d'une droite \( (D) \) passant par un point \( A(x_0, y_0) \) et dirigée par un vecteur directeur \(\vec{u}(\alpha, \beta)\) est donnée par : ~~~
$
(D):~~
\left\{
\begin{aligned}
x &= x_0 + \alpha t\\
y &= y_0 + \beta t
\end{aligned}
\right.
\quad t \in \mathbb{R}.
$\\
Substituons les coordonnées de \( A(-2, 1) \) et de \(\vec{u}(-2, 3)\) :~~
$
(D):~~
\left\{
\begin{aligned}
x &= -2 - 2t \\
y &= 1 + 3t
\end{aligned}
\right.
\quad t \in \mathbb{R}.
$\\
\textbf{2.b}~$-$ Donner 3 points appartenant à \( (D) \) :
En choisissant \( t = -1 \), \( t = 1 \), et \( t = 0.5 \), on calcule les points correspondants sur \( (D) \) :\\
\begin{tabular}{l>{\hspace*{1cm}}l}
- Pour \( t = -1 \) : $x = -2 - 2(-1) = 0, \quad y = 1 + 3(-1) = -2.$ & Donc \( A_1(0, -2) \in (D) \).\\
- Pour \( t = 1 \) : $x = -2 - 2(1) = -4, \quad y = 1 + 3(1) = 4.$ & Donc \( A_2(-4, 4) \in (D) \).\\
- Pour \( t = 0.5 \) : $x = -2 - 2(0.5) = -3, \quad y = 1 + 3(0.5) = 2.5.$ & Donc \( A_3(-3, 2.5) \in (D) \).
\end{tabular}\\
 \textbf{2.c}~$-$ Vérifier si \( B(0, -2) \) et \( C(1, 4) \) appartiennent à \( (D) \) :\\
\tb Vérifions \( B(0, -2) \) :
  Remplaçons \( x = 0 \) et \( y = -2 \) dans l'équation paramétrique de \( (D) \) :\\

  $
  \begin{cases}
  x = -2 - 2t \\
  y = 1 + 3t
  \end{cases}
  $
  donc~
  $
  \begin{cases}
  0 = -2 - 2t \\
  -2 = 1 + 3t
  \end{cases}
  $
  donc~
  $
  \begin{cases}
  2 = - 2t \\
  -2 - 1 = 3t
  \end{cases}
  $
  donc~
  $
  \begin{cases}
  t = - 1 \\
  t = -1
  \end{cases}
  $
~~~~~ Alors
  \( B \in (D) \).\\
\tb Vérifions \( C(1, 4) \) :
  Remplaçons \( x = 1 \) et \( y = 4 \) dans l'équation paramétrique de \( (D) \) :\\

  $
  \begin{cases}
  x = -2- 2t \\
  y = 1+3t
  \end{cases}
  $
  donc~
  $
  \begin{cases}
  1 = -2- t \\
  4 = 1+3t
  \end{cases}
  $
  donc~
  $
  \begin{cases}
  1+2 = - t \\
  4 -1= 3t
  \end{cases}
  $
  donc~
  $
  \begin{cases}
  t = -3 \\
  t= 1
  \end{cases}
  $
  ~~~~~~~~Alors $C\notin (D)$\\
\newpage
 \textbf{3.a}~$-$ Vérifier si \(\vec{u}(-2, 3)\) et \(\vec{v}(4, -6)\) sont colinéaires :\\
Calculons :~~
$ \det(\vec u, \vec v) =
\begin{vmatrix}
-2 & 4 \\
3 & -6
\end{vmatrix} = (-2)(-6) - (3)(4) = 12 - 12 = 0$\\
Comme le déterminant est nul, alors les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.\\[1cm]
\textbf{3.b}~$-$ Donner une représentation paramétrique pour \( D(C; \vec{v}) \) :\\
La droite \( D(C; \vec{v}) \) passe par \( C(1, 4) \) et est dirigée par \(\vec{v}(4, -6)\). Sa représentation paramétrique est :\\
$
\left\{
\begin{aligned}
x &= 1 + 4t \\
y &= 4 - 6t
\end{aligned}
\right.
\quad t \in \mathbb{R}.
$\\
\textbf{Remarque:}
la droite \( D(C; \vec{v}) \) est aussi \( D(C;\vec u) \). une droie peut avoir une infinité de représentations paramétriques\\
 \textbf{4}~$-$ Déterminer une équation paramétrique pour la droite \( (AC) \):\\
La droite \( (AC) \) passe par \( A(-2, 1) \) et \( C(1, 4) \) et dirigée par le vecteur ~$\overrightarrow{AC}$~ :\\
$
\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (1 - (-2), 4 - 1) = (3, 3).
$\\
La représentation paramétrique est :
$
\left\{
\begin{aligned}
x &= -2 + 3t \\
y &= 1 + 3t
\end{aligned}
\right.
\quad t \in \mathbb{R}.
$\\

\textcolor{white}{.}\hfill \underline{MOSAID le \today}\\
\textcolor{white}{.}\hfill \mylink\\
\begin{center}
\stamp{0}{-1}
\end{center}
\end{document}