\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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    colorlinks=true,
    linkcolor=blue
}

\newcommand{\mylink}{\href{https://mosaid.xyz/cc}{www.mosaid.xyz}}

\newcommand{\stamp}[2]{
\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
\coordinate (A) at (#1,#2);
\draw[red!50] (A) circle (1.9cm);
% Draw the inner circle
\draw[red!50] (A) circle (1.4cm);
% Draw the curved line
\draw[red!50, decorate, decoration={text along path,
	text={|\fontspec{DejaVu Sans}\color{red!75}\bfseries|★MOSAID RADOUAN★},
	text align={align=center}, raise=-3pt}] (A) ++ (180:1.6cm) arc (180:0:1.6cm);
\draw[decorate, decoration={text along path,
	text={|\fontspec{DejaVu Sans}\color{red!75}\bfseries|∞★~mosaid.xyz~★∞ },
	text align={align=center}, raise=-6.5pt}] (A) ++ (180:1.53cm) arc (-180:0:1.53cm);
\node[red!75,font=\fontsize{48}{48}\fontspec{DejaVu Sans}\bfseries\selectfont] at (A) {✷};
\end{tikzpicture}
}

\newcolumntype{C}{>{\Centering\arraybackslash}X}

\everymath{\displaystyle}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
	\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}CCC@{}}
		%\toprule
		    \multirow{2}{*}{\parbox{\linewidth}{Prof MOSAID \newline \mylink }}
		    & Serie - Calcul et ordre dans $\mathbb{R}$  & \hfill TCS-F \\
		\bottomrule
	\end{tabularx}
\end{center}
\textbf{\underline{Exercice 1:}}\\
\noindent
Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres reels. Calculer:\\
\textbf{1}~$-$ $A=3(a+b-2c)-3(a-2b+c)+3(b-c)$ \hfill à deux\\
\textbf{2}~$-$ Montrer que $\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0$. tel que $a$, $b$ et $c$ sont differents deux \\
\\
\textbf{3}~$-$ Simplifier $\frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}-\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}$
~~~;~~~ $\frac{2-\sqrt3}{1-\sqrt3}$ ~~;~~ $\frac{1}{\sqrt2+1}$
~~;~~ $\frac{16 \times 2^{4} \times (9 \times 2^{-2})^{3}}{2^{-2} \times 81 \times (3^{2} \times 8)^{2}}$
\\[0.2cm]
\textbf{4}~$-$ Montrer que $\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt{9+4\sqrt5}=-4$ ~~ et ~~ $\sqrt{7+\sqrt{48}}+\sqrt{7-\sqrt{48}}=4$\\
\textbf{5}~$-$ Calculer $\left(\sqrt{\frac{3}{4}}-\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^2$ ~~ et ~~
$\left(\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^2$. Que remarquez vous ?\\
\hspace*{0.7cm} Montrer le cas général $\left(\sqrt{a}-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)^2$ ~~ et ~~
$\left(\sqrt{a}+\sqrt{\frac{1}{a}}\right)^2$ ~ tel que $a\in\mathbb{Q}^{*}$\\
\stamp{16.7}{0}
\textbf{6}~$-$ Soit ~$(x,y)\in\mathbb{R}^2$~ tel que ~$x\ne y$~ et ~$2(x^2+y^2)=5xy$.~~ calculer~~ $\frac{x+y}{x-y}$\\
\textbf{7}~$-$ Soit $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ tel que $a+b=1$ et $a^2+b^2=2$. calculer $a^4+b^4$ et
$a^6+b^6$\\
\textbf{8}~$-$ Soit $a\in \mathbb{R}^{*}$. on pose $x=a+\frac{1}{a}$. calculer $a^2+\frac{1}{a^2}$ et
 $a^3+\frac{1}{a^3}$ en fonction de $x$.\\
\textbf{\underline{Exercice 2:}}\\
\noindent
\textbf{1}~$-$ Développer: $(2x-3)^2$ ~~;~~ $(\sqrt2 -\sqrt3)^3$ ~;~ $(x-1)^5$ ~~;~~ $(\sqrt2-2)(2+2\sqrt2+4)$\\
\textbf{2}~$-$ Factoriser: $x^3-27$ ~~;~~ $(x+1)^2-2(x+1)+x^2-1$ ~;~ $3\sqrt3x^3-8-(\sqrt3x-2)(2x^2-4)+3x^2-4$\\
\textbf{\underline{Exercice 3:}}\\
\noindent
\textbf{1}~$-$ Soient $1\le x \le 4$ ~ et ~ $-2\le x \le 3$. encadrer $A=x^2-3y^2+5x-3y+4$\\
\textbf{2}~$-$ Soient $A=\{x\in\mathbb{R}/|x-2|<2\}$ ~~ et ~~ $B=\{x\in\mathbb{R}/|x+2|>1\}$\\
\hspace*{0.7cm} Ecrire A et B en extension puis determiner $A\cap B$ et $A\cup B$\\
\textbf{3}~$-$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations: $|x-3|=|x+5|$ ~~;~~ $|x-2|-3|x-1|+|2x+6|=0$\\
\textbf{\underline{Exercice 4:}}\\
Soient $x$ et $y$ deux nombres reels tels que $0.75<x<0.80$ ~~ et~~ $-\frac{1}{2}<y<\frac{1}{4}$\\
\textbf{1}~$-$ Montrer que $\frac{1}{35}<\frac{1-x}{-4y+5}<\frac{1}{16}$ \hfill \underline{MOSAID le \today}\\
\textbf{2}~$-$ Montrer que $\frac{31}{24}$ est est une approximation de $\frac{1}{x}$ à $0.05$ près. \hfill \mylink\\
\noindent
\textbf{\underline{Exercice 5:}}\\
Soient $a$ une valeur approchée par defaut de $\frac{1}{3}$ ~~à~~ $2 \times 10^{-1}$ près. et $b$ tel que
$2b^2-b-1<0$\\
\textbf{1}~$-$ Montrer que $\frac{2}{15}\le a\le \frac{1}{3}$ \\
\hspace*{1cm}puis encadrer $\frac{a}{a-1}$\\
\textbf{2}~$-$ Soit $x\in\mathbb{R}$ tel que $\left|\frac{x-1}{a}\right|<\frac{1}{10} $\\
\hspace*{1cm}Montrer que $\frac{29}{30}<x<\frac{31}{30}$\\
\textbf{3}.a~$-$ Montrer que :\\
\hspace*{1cm}$2b^2-b-1=2\left(b- \frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{8}$\\
\hspace*{0.2cm}.b~$-$ Montrer que $\frac{-1}{2}<b<2$ \\
\hspace*{1cm}puis encadrer $b^2-a$\\
\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
    \node at (14,2.5) {
        \includegraphics[width=0.5\paperwidth]{base10.jpeg}
    };
\end{tikzpicture}
\end{document}