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\everymath{\displaystyle}

\title{Série Continuité}
\author{Prof : MOSAID}
\date{}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
	\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}CCC@{}}
		%\toprule
		\multirow{2}{*}{\parbox{\linewidth}{\textbf{Prof MOSAID} \newline \mylink }}
		    & \textbf{Série - Continuité}
		    & \multirow{2}{*}{\parbox{\linewidth}{\hfill \textbf{2\textsuperscript{ème} bac PC/SVT}
		    	\newline \hfill \mylink }}\\
		\bottomrule
	\end{tabularx}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
\begin{tcolorbox}
\textbf{\underline{Exercice 1:}}\\
\noindent
\textbf{1}~$-$ Dans chacun des cas ci-dessous, étudier la continuité des fonctions suivantes au point $ a $ :\\
$
f(x) =
\begin{cases}
	\frac{\sqrt{x^2+5}-3}{\sqrt{x+2}-2} & \text{si } x > -2 \\
	\frac{x^2 + 5x + 6}{x^3+8}, & \text{si } x < -2, ~~ a=-2  \\
	\frac{1}{4}, & \text{si } x = -2
\end{cases}
$ ~~ et ~~
$
f(x) =
\begin{cases}
	\frac{x^3 - 2x^2 -x+2}{x^2-4}, & \text{si } x < 2 \\
	\frac{x-\sqrt[3]{x(x-2)} - 2}{x-2}, & \text{si } x > 2, ~~ a=2 \\
	\frac{3}{4}, & \text{si } x = 2
\end{cases}
$\\
\textbf{2}~$-$ Déterminer la valeur du réel $ m $ pour que la fonction $ f $ ci aprè  soit continue en $ x = 1 $.\\
\hspace*{1cm}
\vspace*{-0.5cm}
$
f(x) =
\begin{cases}
\frac{\sin(\pi x)}{x-1}, & \text{si } x \neq 1 \\
2m, & \text{si } x = 1
\end{cases}
$\\
\textbf{3}~$-$ Étudier la continuité de la fonction $ g $ ci après sur $ \mathbb{R} $.~~
$
g(x) =
\begin{cases}
\frac{x^3 - 2x^2 -x+ 2}{x^2-1}, & \text{si } x > 1 \\
2x^2 +\sqrt{5-x}, & \text{si } x \leq 1
\end{cases}
$
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}
\textbf{\underline{Exercice 2:}}\\
\noindent
Soit $f$ la fonction définie par $ f(x) = 4x^3 + 3x - 1 $.
\vspace*{-0.3cm}
\begin{enumerate}[itemsep=-5pt]
    \item Étudier les variations de la fonction $ f $ sur $ \mathbb{R} $.
    \item Montrer que l'équation $ f(x) = 0 $ admet une solution unique $ \alpha $ sur $ \mathbb{R} $
	  et que $ 0 < \alpha < 1 $.
    \item Donnez un encadrement du nombre $ \alpha $ d’amplitude $ 0.25 $.
    \item Donner le signe de $ f(x) $ sur $ \mathbb{R} $.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}
\textbf{\underline{Exercice 3:}}\\
Soit $ f $ une fonction continue sur un intervalle $ [a, b] $ telle que $ f(a) < ab $ et $ f(b) > b^2 $. \\
Montrer que $ \exists c \in [a, b] $ tel que $ f(c) = bc $.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}
\textbf{\underline{Exercice 4:}}\\
1. Montrer dans chacun des cas ci-dessous que $ f $, définie sur $ I $, admet une fonction réciproque $ f^{-1} $ définie sur un intervalle $ J $ à déterminer :

\begin{tabular}{l>{\hspace*{2cm}}l}
{\large\textbullet} $f(x) = -x^2 +x + 1, \quad I = ]-\infty, \frac{1}{2}]$ &
{\large\textbullet} $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 4}, \quad I = [2, +\infty[$\\
{\large\textbullet} $f(x) = x^3 + 3x^2 + x, \quad I = \mathbb{R}$ &
{\large\textbullet} $f(x) = \sqrt{2x - 2}-x + 1, \quad I = [\frac{3}{2}, +\infty[$
\end{tabular}
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}
\textbf{\underline{Exercice 5:}}\\
Soit $f$ la fonction définie par $ f(x) = 2x^3 - 1 $.\\
\textbf{1}~$-$ Montrer que l’équation $ f(x) = -x $ admet une solution unique $ \alpha $ dans l'intervalle $ ]0, +\infty[ $. \\
\textbf{2}~$-$ Justifier que $ 0 < \alpha < 1 $. Puis donnez un encadrement du nombre $ \alpha $ d’amplitude $ 10^{-2} $.\\
\textbf{3}~$-$ Montrer que $ \alpha = \sqrt{ \frac{-1}{2}  + \frac{1}{2\alpha} } $.
\hspace*{2cm}
\textbf{4}~$-$ Résoudre dans $ ]0, +\infty[ $ l’inéquation $ x  < \frac{1}{1+2x^2} $.\\
\textbf{5}~$-$ Montrer que $ g $, la restriction de $ f $ sur $ I = ]-\infty, \alpha] $, admet une fonction réciproque définie\\\hspace*{0.7cm} sur un intervalle $ J $ à déterminer.\\
\textbf{6}~$-$ Calculer $ g^{-1}(]-3;\alpha[) $.\hspace*{3.5cm}
\textbf{7}~$-$ Trouver $ g^{-1}(x) $ pour tout $ x \in J $.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}
\textbf{\underline{Exercice 6:}}\\[-0.3cm]
\textbf{1}~$-$ Simplifier les expressions suivantes :
    $
    A = \frac{(27)^{\frac{2}{9}} \times (81)^{\frac{1}{4}} \times (9)^{\frac{5}{2}}}{(27)^{\frac{17}{3}}}
    \quad ; \quad
    B = \frac{\sqrt[4]{32} \times \sqrt[6]{27} \times \sqrt{108}}{\sqrt[4]{3}}
    $ \\[-0.3cm]
\textbf{2}~$-$ Résoudre dans \( \mathbb{R} \) :\\
\hspace*{0.7cm}
$x^5 = 32$ ~~;~~
$\sqrt[3]{x^2 + 2} = \sqrt[3]{2x + 1}$ ~~;~~
$(x^2 + 5)^5 = 32$ ~~;~~
$\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{1 - x} = \sqrt[3]{2}$ ~~;~~
$ \sqrt[3]{x - 4} \geq 1$\\
\textbf{3}~$-$ Calculer les limites suivantes :\\
\hspace*{0.5cm}
{\large\textbullet} $\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt[3]{x - 1} - 2}{x - 9}$
{\large\textbullet} $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt[4]{x + 1} - \sqrt[3]{x + 1}}$
{\large\textbullet} $\lim_{x \to 1} \sqrt[3]{8x^3 + 1} - 2x$
{\large\textbullet} $\lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x^3 + x^2 + 1} - 5x$
\end{tcolorbox}

\vfill
\begin{flushleft}
    2024-2025 \hfill \textit{\mylink} \hfill Prof : MOSAID
\end{flushleft}

\end{document}