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\title{\textbf{Devoir libre Nº 1 \\ semestre 1}}
\author{Prof : MOSAID}
\date{A rendre le 29/10/2024}

\begin{document}

\pagestyle{empty}
\begin{center}
    \textbf{2\textsuperscript{ème} bac PC/SVT} \hfill \textbf{Durée : 2 heures} \\
    \textbf{Devoir libre n°1}\\
	\vspace*{-0.2cm}
	\mylink
\end{center}

\begin{tcolorbox}[colback=blue!5!white, colframe=blue!75!black, boxsep=0pt, before skip=5pt, after skip=5pt]
\underline{\textbf{Exercice 1:}}\\
    Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
    \begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*}~$-$, itemsep=0pt, left=0pt]
        \item Calculer les limites suivantes:\\
		{\large\textbullet} $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 3x - 2}{x-2} ~~$
		{\large\textbullet} $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{2x^2 - x} + 2x ~~$
		{\large\textbullet} $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 8} - 3}{x - 1} ~~$
		{\large\textbullet} $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3}}{x - 3}.$
	\item On considère le nombre
		\( A = \frac{\sqrt[3]{2} \times \sqrt{\sqrt[4]{4}}}{\sqrt[3]{\sqrt8} \times \sqrt[3]{\sqrt[4]{32}}} \).
		    Montrer que \( A = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \).

	    \item Comparer: \( \sqrt[4]{4} \) et \( \sqrt[4]{3} \), \( \sqrt[4]{5} \) et \( \sqrt[3]{4} \).

	    \item Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation (E) et l'inéquation (I):\\[1em]
		$(E_1): \sqrt[5]{3x - 4} = 2, \quad
		(E_2): \sqrt[5]{x^2} - 5\sqrt[5]{x} + 6 = 0, \quad
		(E_3): \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} - 12= 0, \quad
		(I): \sqrt[3]{3x - 1} < 2.$\\
    \end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[colback=blue!5!white, colframe=blue!75!black, boxsep=0pt, before skip=5pt, after skip=5pt]
\underline{\textbf{Exercice 2:}}\\
    Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par:
    $
	\begin{cases}
		f(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{2x^2 - 3x + 1}, & x \neq \frac{1}{2}.\\
		f\left(\frac{1}{2}\right)=k
	\end{cases}
    $\\
    Déterminer la valeur du réel \( k \) pour laquelle la fonction \( f \) est continue en \(\frac{1}{2} \).
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[colback=blue!5!white, colframe=blue!75!black, boxsep=0pt, before skip=5pt, after skip=5pt]
\underline{\textbf{Exercice 3:}}\\
    Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x^3 + 2x - 2 \).

    \begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*}~$-$, itemsep=0pt, left=0pt]
        \item Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une solution unique \( a \) dans \( \mathbb{R} \).
	\item Montrer que \( a \in ]0;1[ \).
        \item Donner un encadrement de \( a \) d'amplitude 0.25.
        \item Donner le tableau de signe de \( f(x) \) sur \( \mathbb{R} \).
    \end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[colback=blue!5!white, colframe=blue!75!black, boxsep=0pt, before skip=5pt, after skip=5pt]
\underline{\textbf{Exercice 4:}}\\
    On considère \( f \) la fonction définie par: \( f(x) = x - 2\sqrt{x - 1} \).

	\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*}~$-$, itemsep=0pt, left=0pt]
        \item Déterminer \( D_f \) puis calculer \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \).
        \item Montrer que \( f \) est continue sur \( D_f \).
        \item Montrer que  \( f \) est dérivable à droite au point \( x_0 = 1 \), puis interprêter le résultat.
        \item Montrer que
		\( \forall x \in [1; +\infty[ \qquad f'(x) = \frac{x - 2}{\sqrt{x-1} (1 + \sqrt{x - 1})}. \)
        \item Dresser le tableau de variation de \( f \) sur \( D_f \).
        \item Soit \( g \) la restriction de \( f \) sur \( I = [2; +\infty[ \).
            \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*}~$-$, itemsep=0pt, left=0pt]
                \item Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur \( J \) à déterminer.
                \item Dresser le tableau de variation de \( g^{-1} \).
                \item Vérifier que \( g(x) = (\sqrt{x - 1} - 1)^2 \), puis déterminer \( g^{-1}(x) \) pour tout \( x \in J \).
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\vfill
\begin{flushleft}
    2024-2025 \hfill \textit{\mylink} \hfill Prof : MOSAID
\end{flushleft}

\end{document}