\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\title{Devoir surveillé n°1}
\date{}
\author{}

\setstretch{1.3}
\everymath{\displaystyle}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
    \textbf{2\textsuperscript{ème} bac SVT/PC} \hfill \textbf{Durée : 2 heures} \\
    \textbf{Devoir surveillé n°1}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
    \textit{Un point de plus sur la clarté des raisonnements et la propreté de la feuille}
\end{center}

\section*{Exercice 1 : 2 points}
Soit \( f \) une fonction numérique définie par :
\hspace*{1cm}
$
f(x) =
\begin{cases}
\frac{\sqrt[3]{x+5} - 2}{x - 3} & \text{si } x > 3, \\
ax & \text{si } x < 3,
\end{cases}
$
~~et~~ \( f(3) = \frac{1}{12} \).\\
\noindent
\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.07\textwidth}|p{0.9\textwidth}}
	1   & \textbf{1}~$-$ Montrer que \( f \) est continue à droite en 3. \\
	1   & \textbf{2}~$-$ Déterminer la valeur de \( a \) pour que \( f \) soit continue à gauche en 3.
\end{tabular}

\vspace{0.2cm}

\section*{Exercice 2 : 13 points}
Soit \( f \) une fonction numérique définie par : \( f(x) = x + 1 + 2 \sqrt{x+2} \).\\[1em]
\noindent
\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.07\textwidth}|p{0.9\textwidth}}
	0.5 &\textbf{~1}~$-$ Déterminer \( D_f \) et calculer les limites aux bornes de \( D_f \). \\
	1.5 & \textbf{~2}~$-$ Étudier la dérivabilité de \( f \) à droite en \( -2 \),\\
	&\hspace*{0.7cm} puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu. \\
	1   & \textbf{~3}~$-$ Calculer \( f'(x) \) pour tout \( x \in ]-2; +\infty[ \), puis dresser le tableau de variation de \( f \). \\
	1.5 & \textbf{~4}~$-$ Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une unique solution \( \alpha \) dans \( ]-2; -1[ \). \\
	1   & \textbf{~5}~$-$ Déterminer un encadrement de \( \alpha \) d'amplitude 0,5. \\
	1   & \textbf{~6}~$-$ Déduire le signe de la fonction \( f \) sur \( [-2; +\infty[ \). \\
	1.5 & \textbf{~7}~$-$ Montrer que la fonction \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \)\\
	&\hspace*{0.7cm} définie sur un intervalle \( J \) à déterminer. \\
	0.75 & \textbf{~8}~$-$ Vérifier que \( \forall x \in [-2; +\infty[ : f(x) = \left( \sqrt{x+2} + 1 \right)^2 - 2 \). \\
	0.75 & \textbf{~9}~$-$ Calculer \( f(-1) \) et en déduire \( (f^{-1})'(2) \). \\
	2   & \textbf{10}~$-$ Déterminer \( f^{-1}(x) \) pour tout \( x \in J \), puis dresser son tableau de variations. \\
\end{tabular}

\vspace{0.2cm}

\section*{Exercice 3 : 5 points}
\noindent
\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.07\textwidth}|p{0.9\textwidth}}
	1   & \textbf{1}~$-$ Ranger dans l'ordre croissant les nombres suivants : \( 2 \), \( \sqrt[3]{9} \), \( \sqrt{3} \), \( \sqrt[6]{80} \). \\
	1   & \textbf{2}~$-$ Calculer les limites suivantes : \\
        & \hspace*{6.5cm} \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x+1}}{\sqrt{x+1}} \) ~~;~~
         \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+8} + \sqrt{x+1} - 3}{x} \) \\
	1.5 & \textbf{3}~$-$ Montrer que : \( \frac{\sqrt[8]{64} \times 2^{-\frac{1}{2}} \times \sqrt[6]{72}}{\sqrt[4]{8} \times 3^{-\frac{2}{3}}} = 3 \). \\[1em]
\end{tabular}

\vspace{1cm}
\begin{center}
    \textit{Bonne chance à tous}
\end{center}

\vfill
\begin{flushleft}
    2022-2023 \hfill \textit{C'est en forgeant qu'on devient forgeron} \hfill Prof : YYYYYYYYYY
\end{flushleft}

\end{document}