\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\newcommand\boxitem[1]{%
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    minimum size=1.2em,inner sep=0] (char) {#1};}}
\setlist[enumerate,1]{label=\protect\circitem{\arabic*}}
\setlist[enumerate,2]{label=\protect\boxitem{\alph*}}
%%%::::::by chnini ameur :::::::%%%
\everymath{\displaystyle}
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%%%::::::by chnini ameur :::::::%%%
\newtcolorbox{exa}[2][]{enhanced,breakable,before skip=2mm,after skip=5mm,
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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  \color{blue}\ding{45}\ \textbf{Bac 2023}
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\begin{document}
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    at ([yshift=-2.5cm]current page.north) {%
      \begingroup
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          \begin{tabular}{|*1{C{0.28\textwidth}} |*2{C{0.2\textwidth}|} *1{C{0.19\textwidth}|}  }
            \hline
            \multicolumn{3}{|c|}{%
                $\diamond$$\diamond$$\diamond$\
                \textbf{Lycée Math math math math}\
                $\diamond$$\diamond$$\diamond$
            }& \textbf{A.S. : 2022/2023} \\ \hline
            \textbf{Matière: Mathématiques}& \textbf{Niveau : 4}$ ^\text{\bf e} $
            \textbf{Maths} &\textbf{Date: 16/3/2023} & \textbf{Durée : 4 heures}   \\  \hline
            \multicolumn{4}{|c|}{%
              \parbox[c]{7cm}{%
                \begin{center}
                    \textbf{{\Large\sffamily  Devoir de contrôle  n$ ^{\circ} $ 2}}
                \end{center}
              }
            }  \\ \hline
        \end{tabular}}
     \endgroup};
\end{tikzpicture}
\vspace{3cm}
\begin{center}
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      \centering \bf\textbf{NB}: ce document contient 4 exercices
  \end{tcolorbox}
\end{center}
\vskip3mm
\begin{exa}[colbacktitle=green]{Exercice 1 :5 points}
  Soit $f$ la fonction définie sur $] 0,+\infty$ [ par $f(x)=\dfrac{\ln (x)}{\ln (x+1)}$.\\
  Soit $   C $ la courbe de $f$ dans un repère orthonormée $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
  \begin{enumerate}
      \item
      \begin{enumerate}
          \item Calculer $\lim _{x \to 0^{+}} f(x)$.Interpréter graphiquement le résultat.
          \item Vérifier que $\forall x>0,   \ln (x+1)=\ln (x)+\ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)$.
          \item Déduire que $\lim _{x \to +\infty} f(x)=1$. Interpréter le résultat.
      \end{enumerate}
      \item
      \begin{enumerate}
          \item  Montrer que $\forall x>0, f'(x)=\dfrac{x(\ln (x+1)-\ln (x))+\ln (x+1)}{x(x+1) \ln ^{2}(x+1)}$.
          \item  En déduire que $f$ est strictement croissante sur $] 0,+\infty[$.
          \item  Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
          \item  Tracer la courbe $   C $ en précisant son intersection avec l'axe des abscisses.
      \end{enumerate}
      \item Montrer que $f$ admet une réciproque $f^{-1}$ définie sur $] -\infty, 1[$.
      \item Pour tout entier naturel $n \geq 2$, on pose $a_{n}=f^{-1}\left(\dfrac{1}{n}\right)$.
      \begin{enumerate}
          \item  Calculer $\lim {n \to +\infty} a{n}$.
          \item  Montrer que $a_{n}$ est une solution de l'équation $x^{n}=x+1$.
          \item  Calculer $\lim {n \to +\infty}\left(a{n}\right)^{n}$.
      \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exa}
\begin{exa}[colbacktitle=green]{Exercice 2 :5pts}
  Soit $f$ la fonction définie sur $] 0,+\infty$ [ par $f(x)=\dfrac{\ln (x)}{\ln (x+1)}$.\\
  Soit $   C $ la courbe de $f$ dans un repère orthonormée $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
  \begin{enumerate}
      \item
      \begin{enumerate}
          \item Calculer $\lim _{x \to 0^{+}} f(x)$.Interpréter graphiquement le résultat.
          \item Vérifier que $\forall x>0,   \ln (x+1)=\ln (x)+\ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)$.
          \item Déduire que $\lim _{x \to +\infty} f(x)=1$. Interpréter le résultat.
      \end{enumerate}
      \item
      \begin{enumerate}
          \item  Montrer que $\forall x>0, f'(x)=\dfrac{x(\ln (x+1)-\ln (x))+\ln (x+1)}{x(x+1) \ln ^{2}(x+1)}$.
          \item  En déduire que $f$ est strictement croissante sur $] 0,+\infty[$.
          \item  Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
          \item  Tracer la courbe $   C $ en précisant son intersection avec l'axe des abscisses.
      \end{enumerate}
      \item Montrer que $f$ admet une réciproque $f^{-1}$ définie sur $] -\infty, 1[$.
      \item Pour tout entier naturel $n \geq 2$, on pose $a_{n}=f^{-1}\left(\dfrac{1}{n}\right)$.
      \begin{enumerate}
          \item  Calculer $\lim {n \to +\infty} a{n}$.
          \item  Montrer que $a_{n}$ est une solution de l'équation $x^{n}=x+1$.
          \item  Calculer $\lim {n \to +\infty}\left(a{n}\right)^{n}$.
      \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exa}
\end{document}