Espaces métriques complets 1 Introduction Les espaces complets jouent en analyse un rôle fondamental. La notion de complé- tude est, en effet, à l’origine de théorèmes aussi importants que le théorème du point fixe en topologie (duquel découlent les théorème d’inversion locale en calcul différen- tiel et de Cauchy-Lipschitz dans la théorie des équations différentielles), le théorème de Baire (toujours en Topologie) (et duquel découlent le théorème de Banach-Steinhaus,le théorème de l’application ouverte...), et le théorème de projection de Riesz dans la théo- rie des espaces hilbertiens... La pluspart de ces théorèmes sont des théorèmes d’exis- tence (existence d’un point fixe pour le théorème du point fixe, existence de l’inverse d’une fonction pour le théorème d’inversion locale, existence des solutions à une équa- tion différentielle pour le théorème de Cauchy-Lipschitz...). C’est la notion de complé- tude qui, en garantissant l’existence d’une limite pour une certaine catégorie de suite, permet de construire chacun de ces objets. 2 Notions de base Dans tous ce chapitre (X,d) désignera un espace métrique . Définition On dira que la suite � xn � n � IN est de Cauchy dans X si elle vérifie: � ε � 0 � N � IN � n � m � N d � xn � xm �� ε Proposition Remarquons qu’une suite de Cauchy n’est pas nécessairement conver- gente mais qu’une suite convergente est toujours de Cauchy. D’ailleurs: Définition Un espace métrique sur lequel les suites de Cauchy sont convergentes sera appelé espace complet. Exemple (IR ,;;; ;;;) est un espace complet. Exemple Sur (IQ ,;;; ;;;), on définit la suite suivante: Soit a � IR  u0 1et � n � 0un 1 1 2 � un  a un � Cette suite est de Cauchy sur IQ et converge vers  a, donc diverge dans IQ . Remarque Ajoutons que cette notion de complétude dépend complètement de la métrique choisie pour l’espace et pas du tout de sa topologie. Ainsi, il est possible d’exhiber des espaces munis de deux métriques différentes et qui induiront des topo- logies équivalentes . Par contre, pour une des deux métriques les suites de Cauchy convergeront, ce qui ne sera pas le cas pour l’autre. En l’occurence, on a la propriété 1