Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 165 − 1 Probabilités Présentation par Sylvie MÉLÉARD Ancienne élève de l’École normale supérieure de Fontenay-aux-Roses Agrégée de mathématiques Professeur de mathématiques à l’Université Paris 10 Habilitation à diriger des recherches en Probabilités Phénomènes aléatoires ’objet de la théorie des probabilités est l’analyse mathématique de phéno- mènes dans lesquels le hasard intervient. Ces phénomènes sont appelés des phénomènes aléatoires. Un phénomène est dit aléatoire si, reproduit maintes fois dans des conditions identiques, il se déroule chaque fois différemment de telle sorte que le résultat de l’expérience change d’une fois à l’autre de manière imprévisible. I On peut donner des exemples variés de tels phénomènes : — jeu de pile ou face ; — jeu de lancer de dés ; — durée de vie d’une ampoule électrique ; — temps de passage d’un bus ; — promenade d’un ivrogne : un pas en avant, un pas en arrière... ; — trajectoire d’une poussière de pollen sur la surface de l’eau d’un vase. Dans les deux premiers exemples, la différence entre les résultats, si on réitère l’expérience, peut être liée à l’impulsion initiale communiquée au dé, à la rugo- sité de la table, aux vibrations du plancher... Le hasard n’est donc en fait que l’illustration de la méconnaissance des conditions initiales, car la pièce ou le dé ont des trajectoires parfaitement définies par la mécanique classique. I Ainsi, toutes ces expériences présentent comme point commun des varia- tions liées à la présence de facteurs secondaires influant sur le résultat de l’expérience qu’on ne sait pas contrôler. Il est évident que tous les effets physi- ques dans la nature fonctionnent ainsi, et tout phénomène déterministe est iné- vitablement accompagné d’écarts aléatoires. Néanmoins, pour certains phénomènes, on peut négliger les éléments aléatoires en remplaçant le phéno- mène réel par un schéma simplifié : on sélectionne pour ce faire les paramètres les plus importants, c’est la méthode usuelle de la mécanique. L’idée à retenir est donc que la notion de hasard, ou d’aléatoire, est liée à la méconnaissance de paramètres intervenant dans une expérience, ou à la trop grande multitude de ceux-ci. (Il est alors impossible de les faire entrer dans un traitement de physique classique). I Chacun est maintenant familiarisé avec le concept de probabilité. La pro- babilité qu’il pleuve la semaine prochaine, la probabilité de gagner à la loterie ou celle de survivre à un crash aérien sont des préoccupations quotidiennes. Les assurances fixent le contrat d’assurance-vie d’un individu de 22 ans, grâce à une estimation de sa probabilité de survie à 80 ans. Dans de nombreux domaines, les probabilités interviennent : les entreprises cherchent à calculer le besoin probable de leurs produits dans le futur, les méde- cins cherchent à connaître les probabilités de succès de différents protocoles de soin, les compagnies pharmaceutiques doivent estimer les probabilités d’appa- ritions d’effets secondaires pour leurs médicaments. Un exemple récent specta- culaire est celui de l’utilisation des probabilités en économie et, en particulier, en théorie aléatoire de la finance. Ici, les taux d’intérêt et les prix d’instruments financiers, tels que actions, obligations, taux de change, sont modélisés comme L