Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 30 − 1 A 30 8 - 1994 Mathématiques Introduction par André WARUSFEL Ancien élève de l’École Normale Supérieure Agrégé de Mathématiques Professeur de Mathématiques Spéciales M’ au Lycée Louis-le-Grand uvrons cet article par une question sacrilège majeure : les mathématiques sont-elles utiles ? Y a-t-il incompatibilité entre les mots « mathématiques » et « applications » ? Pour tenter une réponse (impossible...), il faut essayer, sinon de les définir, au moins d’en cerner le champ. Comme d’autres moyens nés de l’homme, les mathématiques ont pour objet l’aide à la compréhension de l’univers et de ses structures. Pour ce faire, elles s’appuient sur la logique et sur un recours, rai- sonné, à une intuition longuement forgée depuis l’aube de leur histoire. Cette dernière nous apprend comment sont nées l’arithmétique et la géomé- trie à partir de problèmes concrets d’origines agricole, commerciale ou d’ingé- nierie architecturale. L’exemple de la montée en puissance sur vingt siècles de notre système décimal de numération est sans doute le meilleur symbole de ce que sont les mathématiques pures, se nourissant et progressant à partir des problèmes que la discipline elle-même se pose. En élargissant la quête de la compréhension du monde physique jusqu’au monde social et industriel, ce sont les mathématiques appliquées qui apparaissent alors — dès le début du dix- neuvième siècle —. Elles commencent une vie propre, même si d’innombrables passerelles lient ces deux univers. Mais la différence qui sépare ces cousines est devenue aujourd’hui si mince qu’une unification des fascicules consacrés aux mathématiques pures et aux mathématiques appliquées dans ce traité s’impose désormais avec évidence. Comprendre le monde sert évidemment à pouvoir le gérer ; dominer cette gestion signifie notamment pouvoir soumettre un certain nombre d’industries à une organisation scientifique et technologique rationnelle et mettre en place des structures concrètes à partir de notions d’origine abstraite, dont l’utilité déborde les mathématiques classiques prises au sens étroit du mot. Recevant en 1991 le Japan Prize pour l’ensemble de son œuvre, notre compatriote Jacques-Louis Lions distinguait alors deux grands volets dans la description des mathématiques appliquées, fondamentales pour l’étude des systèmes qui nous entourent. Qu’ils soient d’origine physique, chimique ou biologique, naturels ou issus de l’initiative créatrice de l’homme, ces travaux se répartissent à peu près également entre le continu et le discret. Si le temps évolue de manière continue, il existe également une notion de temps discret, pendant lequel on peut intervenir de manière discontinue, se référant aux battements d’une horloge. Si le problème fondamental de la météorologie est un bon exemple de problème continu, celui de l’optimisation de la production d’une usine ressort plutôt du discret. Travailler sur ordinateur, bonne à tout faire de ce dernier demi-siècle, rentre le plus souvent dans la catégorie du discret. Ce sont pourtant des mathéma- tiques appliquées de la première catégorie (continu), qui justifient la très haute récompense japonaise illustrant l’un des tout premiers mathématiciens fran- çais. En prouvant que l’on pouvait étudier le traitement, à l’aide d’ordinateurs, d’équations ressortissant de l’analyse la plus classique sans déroger aux règles les plus strictes de sa discipline, J.-L. Lions montrait ainsi que la science de O