Anneaux et corps © Christian Squarcini 2005 Anneaux et corps 1 Généralités et définitions 1.1 Définition Un ensemble A muni de deux lois + et . (appelées addition et multiplication) est un anneau ssi : (i) (A, +) est un groupe commutatif; (ii) la loi . est associative et possède un élément neutre noté 1A (ou 1 s’il n’y–a pas d’ambiguïté); (iii) . est distributive par rapport à l’addition. Si de plus la loi . est commutative on dit que l’anneau A est commutatif. Le neutre pour l’addition se note 0A (ou 0 s’il n’y-a pas d’ambiguïté). Exemples : (z, +, ×), (q, +, ×), (r, +, ×), (c, +, ×), (z/nz, , + × ), F(E, A) ensemble des applications de E dans un anneau A muni de l’addition et de la multiplication des applications, A[X] ensemble des polynômes à coefficients dans A sont des anneaux commutatifs. L(E) ensemble des endomorphismes de l’espace vectoriel E muni de l’addition et de la composition et Mn(A) ensemble des matrices n×n à coefficients dans un anneau A sont des anneaux non commutatifs. P(E) ensemble des parties d’un ensemble E muni de la différence symétrique ∆ (A∆B = A∪B –A∩B) et de l’intersection est un anneau commutatif appelé anneau de Boole. 1.2 Règles de calculs Dans un anneau A : ∀ x ∈ A : 0.x = x.0 = 0; ∀ (x, y) ∈ A×A : x.(–y) = (–x).y = – xy; ∀ (x, y) ∈ A×A et ∀ n ∈ n : x.(ny) = (nx).y = n(x.y). Formule du binôme de Newton : Si a et b sont deux éléments permutables (i.e : a.b = b.a) d’un anneau A on a pout tout n ∈ n: (a + b)n = ∑ = − n k k n k k n b a C 0 . Démonstration : on calcule de deux façons [0 + 0].x. C’est égal d’une part à 0.x. En utilisant la distributivité de l’addition sur la multiplication c’est aussi égal à 0.x + 0.x. Donc 0.x = 0.x + 0.x d’où 0.x = 0. En considérant [x + (–x)].y on montre de même que x.(–y) = (–x).y = – x.y. La dernière relation se démontre d’abord pour n ∈ n par récurrence puis dans le cas général en utilisant la deuxième relation. Formule du binôme de Newton : se démontre comme dans r ou c par récurrence sur n. 1.3 Sous-anneaux Définition : Une partie B d’un anneau A contenant 1A et stable pour les deux lois d’un anneau A est un sous-anneau de A ssi B muni des deux lois induites de celle de A est un anneau. Caractérisation pratique Une partie B d’un anneau (A, +, ×) est un sous-anneau de A ssi : (i) 1 ∈ B; (ii) ∀(a, b) ∈ B×B, x – y ∈ B et x.y ∈ B.