Emmanuel Vieillard Baron www.les-mathematiques.net 1 Espaces vectoriels 1 Introduction Jusqu’à la fin du lycée, les mathématiques ( l’analyse comme la géométrie ) se pratiquent dans des espaces de dimension 2 ou 3 ( le plan ou l’espace physique). Très vite apparaît la nécessité de travailler dans des espaces de dimension supérieure, ne serait-ce que pour modéliser des problèmes faisant intervenir un nombre de variables plus grand que 2. Les espaces de dimension plus grande que 3 échappent totalement à la perception. Même si on peut, par projection sur � 3 et � 2, entrevoir l’aspect d’ob- jets mathématiques vivants dans � 4 ou plus, on ne peut les visualiser dans toute leur globalité. Aussi faut il un cadre théorique pour pouvoir aborder les dimensions plus grandes. La théorie des espaces vectoriels a pour objet de fixer cette théorie. 2 Définitions Définition Soient A et B des ensembles. On appelle loi externe sur B une appli- cation θ : A � B � B. Par convention, si α � A et x � B, on notera θ � α � x �� αx. Définition Soit (k,+,.) un corps et soit (E,+) un groupe abélien. Soit aussi θ:k � E � E une loi externe sur E ( on utilisera la convention d’écriture précédente). Le triplet (E,+,.) a une structure d’espace vectoriel sur k ( ou de k-espace vectoriel) si: – 1 désignant l’unité de la seconde loi de k et � x � E: 1.x=x. – � α � k � � x � y � E α � x  y �� αx  αy. – � α � β � k � � x � E � α  β � x � αx  βx. – � α � β � k � � x � E � α  β � x � α � βx � . k est appelé le corps de base de l’espace vectoriel E. Remarque Par abus d’écriture, on notera E le k-espace vectoriel (E,+,.). Définition Soit k un corps. Un élément d’un k-espace vectoriel est appelé un vec- teur. Proposition Soit k un corps. Soit E un k-espace vectoriel. On note 0 le neutre de la loi + sur k, 0 aussi le neutre de la loi + sur E et 1 le neutre de la loi . sur k. Soient v � E et α � k. On a les propriétés suivantes: 1. 0v=0 2. -1v=-v 3. Si αv=0 et que α  � 0 alors v=0.