Anneaux polynomiaux 1 Introduction Les polynômes sont parmi les fonctions les plus accessibles en Mathématiques et parmi aussi les plus riches et les plus intéressantes. L’étude des polynômes est à cheval entre l’analyse et l’algèbre et leur utilité est autant importante dans ces deux parties des mathématiques. Une façon d’illustrer cette idée est de rappeler que le théorème communément appelé théorème fondamental de l’algèbre, qui est un théorème sur les polynômes à coefficients réels, ne possède aucune démonstration qui ne recourt pas à l’analyse. Les polynômes seront souvent utilisés en algèbre sous forme d’équation. De nombreux problèmes algébriques se ramènent à la résolution d’une équation po- lynomiale. Nous pensons à des problèmes d’arithmétiques, par exemple, comme les équations diophantiennes. Nous pensons aussi à la recherche des valeurs propres pour les matrices. En analyse, ils serviront à approximer les fonctions. Citons par exemple le théorème de Weierstrass qui affirme que les polynômes définis sur un compact de R forment une famille dense dans l’ensemble des fonctions continues définies elles aussi sur ce compact pour la topologie de la convergence uniforme. Cette leçon n’étu- diera que le côté algébrique des polynômes. On étudiera ici les liens, en particulier, entre les propriétés de l’anneau sur lequel les polynômes sont définis et les propriétés de l’anneau polynomial. Une leçon du cours d’analyse s’occupera de leur autre visage. 2 Qui sont-ils? Définition Soit A un anneau. On appelle polynôme sur A ou à coefficient dans A toute application P vérifiant: – P:A→A. – Il existe n∈N et a0,...,an dans A tels que ∀ x∈A, P(x)=a0+a1X+...+anXn. Les éléments ai de P sont appelés les coefficients de P. aiXi est le terme de degré i de P. ai est le coefficient du terme de degré i. L’ensemble des polynômes sur A est noté A[X]. Remarque Le polynôme nul est le polynôme ayant comme coefficient pour le terme de degré i l’élément nul de A et ce pour tout i dans N . Remarquons que pour tout n∈N , le polynôme P possède un terme de degré n. Dans le pire des cas, ce terme est nul. Définition Un polynôme P de la forme P(X)=aXk est appelé un monôme de degré k.