Appendice 2: Convergence des lois bi- nomiales vers la loi de Poisson Cet appendice montre une chose peu connue: c’est que la suite des lois binomiales de paramètres convenables converge vers une loi de Poisson, non seulement faible- ment, mais aussi au sens de la convergence en norme de mesures. Cet appendice peut intéresser aussi les étudiants d’agrégation qui ont à traiter du sujet “lois binomiales, lois de Poisson”. Adoptons les notations suivantes: δa désigne la masse de Dirac en a; si m > 0, on définit la loi de Poisson de moyenne m par pm(dx) = ∞ � n=0 e−m mn n! δn(dx) et si 0 < p < 1 on définit la loi de Bernoulli de moyenne p par b1,p(dx) = (1 − p)δ0(dx) + pδ1(dx). Si n est un entier > 0, on définit la loi binomiale bn,p comme la nième puissance de convolution de la loi de Bernoulli: bn,p(dx) = (b1,p)∗n(dx) = ((1 − p)δ0 + pδ1)∗n(dx) = n � k=0 Ck n(1 − p)n−kpkδk(dx). C’est un résultat simple et important que de constater que la suite de probabilités (bn,m/n)n>m converge faiblement vers pm. En effet si n ≥ k, alors Ck n � 1 − m n �−k �m n �k est une fraction rationnelle en n et l’examen des termes de plus haut degré au numéra- teur et au dénominateur montre que lim n→+∞ Ck n � 1 − m n �n−k �m n �k = e−m mk k! . Toutefois, un résultat plus fort est vrai, puisque en fait (bn,m/n)n>m converge forte- ment vers pm. S’agissant ici de probabilités concentrées sur l’ensemble N des entiers, cette convergence forte est une convergence dans l1(N) et revient à affirmer que ∥bn,m/n − pm∥ = n � k=0 ����Ck n � 1 − m n �n−k �m n �k − e−m mk k! ���� + ∞ � k=n+1 e−m mk k! tend vers 0 si n → +∞. Nous allons montrer ce résultat de deux manières. Celle de Le Cam(1960) est courte et utilise une ingénieuse idée de couplage. Celle de Prohorov (1963) donne plus d’informations en montrant que ∥bn,m/n −pm∥ est équivalente à un φ(m)/n et calcule explicitement φ(m).