Emmanuel Vieillard Baron www.les-mathematiques.net 1 Applications linéaires et espaces vectoriels quotients 1 Introduction Les applications linéaires sont parmi les plus importantes en mathématiques. Elles interviennent dans de nombreuses situations. En analyse, elles servent par exemple à approximer localement des fonctions ou des équations différentielles. En algèbre, on peut les utiliser pour représenter des équations. En géométrie, elles modélisent les sy- métries d’un objet... Nous étudierons dans cette leçon leurs principales propriétés. Nous verrons que ces dernières sont nombreuses et justifient l’intérêt qui leur est porté. Nous terminerons cette partie par une intrusion dans le monde des espaces vectoriels quotients. L’impor- tance de ces derniers est liée en particulier au fait que pour un sous espace donné dans un espace vectoriel il n’existe pas de supplémentaire cannonique. Nous verrons que les espaces quotients permettent de définir pour un sous espace vectoriel donné un supplé- mentaire bien particulier. Dans tout ce chapitre k désigne un corps. 2 Définitions Définition Soient E et F des k-espaces vectoriels et f une application de E dans F. f est une application k-linéaire si pour tout x et y dans E et tout α et β dans k, f(αx+βy)=αf(x)+βf(y). On notera � (E,F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F. On utilisera, quand aucune confusion n’est à craindre, le mot “linéaire” à la place de “k-linéaire”. Définition Si f est une application linéaire du k espace vectoriel E dans le k espace vectoriel F alors: – Si E=F f est un endomorphisme. L’ensemble des endomorphismes d’un espace vectoriel E sera noté � (E). – Si f est bijective f est un isomorphisme. – Si E=F et que f est bijective alors f est un automorphisme. L’ensemble des automorphismes d’un espace vectoriel sera noté GL(E) (Groupe linéaire de E). L’utilisation du mot groupe dans la définition précédente sera justifiée plus loin. Définition Deux espaces vectoriels sont isomorphes si il existe un isomorphisme entre ces deux espaces vectoriels.