L’espérance mathématique d’une va- riable aléatoire 1 Les variables aléatoires étagées. Définition Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité. Désignons par E l’ensemble de toutes les variables aléatoires réelles étagées définies sur Ω. A tout élément X de E nous associons un nombre appelé espérance mathématique de X, noté IE(X), et défini ainsi: si la loi de X est PX = p1δa1 + · · · + pNδaN , alors IE(X) = p1a1 + · · · + pNaN. En fait, E est un espace vectoriel et X �→ IE(X) est une forme linéaire positive dessus, comme le montre le théorème suivant: Théorème 5.1 (Linéarité et positivité de l’espérance) Si X et Y sont des v.a. étagées sur Ω alors λX + µY , pour des réels λ et µ, est en- core une v.a. étagée. De plus IE(λX + µY ) = λIE(X) + µIE(Y ). Enfin IE(X) ≥ IE(Y ) si X ≥ Y. Démonstration Introduisons les lois de X et Y : PX = p1δa1 + · · · + pNδaN , PY = q1δb1 + · · · + qMδbM , notons X−1({ai}) = Ai, Y −1({bj}) = Bj et Cij = Ai ∩ Bj et rij = P(Cij). La matrice (rij) a pour somme des lignes le vecteur ligne (q1, . . . ,qM) et pour somme des colonnes le vecteur colonne t(p1, . . . ,pN). Les valeurs prises par Z = λX + µY sont les cij = λai + µbj et comme Z−1({cij}) = Cij ∈ A, on en déduit que Z est aussi une v.a. Sa loi est PZ = � ij rijδcij, et est donc d’espérance IE(Z) = � ij rijcij = � ij rij(λai + µbj) = λ � i ai � j rij + µ � j bj � i rij = λIE(X) + µIE(Y ).