Emmanuel Vieillard Baron www.les-mathematiques.net 1 Dual d’un espace vectoriel 1 Introduction L’espace dual d’un espace vectoriel est l’ensemble de toutes les formes linéaires définies sur cet espace ( c’est à dire l’ensemble de toutes les applications linéaires définies de cet espace dans son corps de base ). La dualité est un instrument technique intervenant souvent en mathématiques. Donnons quelques exemples. – L’application qui à un vecteur associe sa ième coordonnée dans une base donnée d’un espace vectoriel est une forme linéaire. – La dualité sert à définir la topologie de la convergence simple sur certains es- paces fonctionnels. Ces espaces interviennent entre autre quand on étudie les distributions. – En calcul différentiel, les différentielles de fonctions définies d’un espace vec- toriel dans � sont des formes linéaires et donc des éléments du dual de l’espace vectoriel considéré. – En géométrie, les formes linéaires servent à donner des équations dpour es hy- perplans. Ce qui en fait aussi un outil de travail pour la géométrie projective. 2 Définitions Si on considère un corps k, il est par définition muni d’une loi interne donnée par l’addition. La multiplication dans ce corps peut être vue comme une loi externe de k � k dans k. Le corps k muni de cette loi interne et de cette loi externe a ainsi une structure de espace vectoriel sur lui même. Sa dimension sera évidemment égal à 1. Cette re- marque donne un sens à la définition qui suit. Définition Une forme linéaire sur un k-espace vectoriel E est une application li- néaire de E dans le corps k. On note E � l’ensemble des formes linéaires sur E. Proposition L’ensemble E � des formes linéaires définies sur le k-espace vectoriel E possède une structure d’espace vectoriel pour la loi interne donnée par l’addition des fonctions de E dans k et la loi externe donnée par la multiplication d’une fonction par un scalaire de k. E � est appelé espace vectoriel dual de l’espace vectoriel E. Démonstration Rappelons que l’ensemble des fonctions linéaires � (E,F) définies entre deux espaces vectoriels E et F possède une structure d’espace vectoriel pour les lois précédemment mentionnées. E � est en fait égal à � (E,k), qui possède bien une structure d’espace vectoriel.