Topologie algébrique 1 1 Groupes et groupoïdes fondamentaux. Groupe fondamental : une introduction La notion de groupe fondamental d’un espace topologique a été introduite dans le but de formaliser la notion intuitive de « trou ». Un exemple d’espace topologique troué est bien sûr R2 \ {(0, 0)}, c’est-à- dire le plan privé de son origine. Un autre exemple est constitué par le cercle S1 ; on peut voir ce dernier comme la bordure d’un trou. On verra que ces deux espaces topologiques ont le même groupe fondamental. L’idée de la construction du groupe fondamental est un peu de considé- rer un trou comme un clou que l’on pourrait attraper au lasso. Récipro- quement, si on lance un lasso à travers un espace topologique et que l’on peut le resserrer jusqu’à le réduire à son nœud coulant, il paraît naturel de conclure que cet espace n’a pas de trous. Formalisation de la notion de « lasso » a Soient X un espace topologique et x0 l’un de ses points. On appellera lacet de X d’extrémité x0 une application continue λ de I := [0, 1] dans X telle que : λ(0) = λ (1) = x0 . Le terme de « lacet » est consacré par l’usage. Il semble faire référence, a non pas à nos familiers et inoffensifs lacets de chaussures, mais auasi- nistre lacet de l’étrangleur. L’extrémité x0 d’un lacet λ peut être vue comme le nœud coulant. a A strictement parler, un lacet ainsi défini n’est pas vraiment la formalisa- tion de l’idée de lacet concret mais plutôt de l’image instantanée d’un tel lacet. Pour rendre l’idée qu’il est loisible de resserrer ou de desserrer un lacet concret (en soie, de préférence), on introduit la relation suivante. Soient X un espace topologique et x0 l’un de ses points. a On définit la relation ® aentre deux lacets λ1 et λ2 d’extrémité x0 λ2 λ1 x0