CONSTRUCTION DE MATRICES REELLES VERIFIANT AB=–BA G. PHILIPPE 4 avril 2001 1 NOTATIONS � désigne le corps des nombres complexes. n est un entier � 2 � � n1( � ) désigne l’ensemble des matrices unicolonnes complexes à n termes et soit u une de ces matrices non nulle. I désigne la matrice unité de format nxn � On note la transposée de u:tu �� u1 � u2 � ��� un � et la conjuguée de u:u � On pose a � tuu � ∑n k 1  uk  2 ; a est un réel positif(  0). Définition On dit que deux matrices A et B anticommutent si elles vérifient la relation AB=-BA. 2 CONSTRUCTION DES 2 MATRICES A et B Proposition Soit M � tuuI 2utu (matrice complexe) Montrons que: M2 � a2I (matrice réelle) Démonstration M � aI 2utu d’où M2 �� aI 2utu  aI 2utu  = a2I 2autu 2autu  4  utu  utu � a2I 4autu  4u  tuu  tu or tuu � t  tuu � ta � a (le réel a étant identifié à la 1x1 matrice � a � ) Par conséquent M2 � a2I 4autu  4uatu � a2I 4autu  4autu � a2I soit M2 � a2I Proposition D’autre part si on pose M � A  iB avec A � ℜ  M  et B � ℑ  M  alors A et B anticommutent. 1