Espaces métriques connexes 1 Introduction La notion d’espace connexe va nous permettre de modèliser le concept d’un seul tenant. Le rôle de ces espaces est, une fois encore, fondamentale en analyse et le champs d’intervention de ces ensembles est très large. On montrera en particulier ici comment le théorème des valeurs intermédiaires se généralise aux fonctions continues sur un espace métrique, puis l’on donnera des critères de connexité, plus évident à manier que la connexité elle-même. 2 Espaces métriques connexes Dans tout ce chapitre (X,d) et (Y,d’) désignent des espaces métriques . Définition On dira que l’espace métrique (X,d) est connexe s’il vérifie l’une des conditions équivalentes suivantes. 1. Si X est réunion de deux ouverts disjoints alors l’un de ces deux ouverts est vide et l’autre égale à X. 2. Si X est réunion de deux fermés disjoints alors l’un de ces deux fermés est vide et l’autre égale à X. 3. Si l’on considère � 0 � 1 � muni de la topologie discrète et f : X �� � 0 � 1 � une application continue , alors f est constante sur X. 4. Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés de X sont X lui même et l’en- semble vide. Démonstration 1 � 2 est évident par passage au complémentaire. 1 � 3 : Soit f un application continue de X dans � 0 � 1 � . Alors � f � 1 � 0 ; f � 1 � 1 � repré- sente une partition de E en deux ouverts (ou deux fermés) de E. Par conséquent, l’un de ces deux ouverts est vide et l’autre égale à X tout entier, ce qui implique bien que f est constante sur X. 3 � 1 : Soient U1 et U2 deux ouverts de X qui définissent une partition de X. Soit aussi f : X �� � 0 � 1 � définie par f � U1  � 0 � et f � U2  � 1 � . f est continue et donc constante sur X. Donc l’un des deux ouverts est vide et l’autre égale à X tout entier.Cqfd 1 � 4 : Soit U un sous ensemble à la fois ouvert et fermé de X. Alors Uc est, lui aussi, un sous ensemble ouvert et fermé de X. Mais U et Uc définissent une partition de X en deux ouverts. X étant connexe U est ou vide ou égale à X tout entier. 4 � 1 : Supposons que U et V définissent une partition ouverte de X. Le complémen- taire de U est alors égale à V et réciproquement Vc=U. U étant ouvert , V est alors fermé . De même U est aussi fermé. Mais X ne possède pas de sous ensemble à la fois ouvert et fermé autre que l’ensemble vide et X. Donc l’un des deux, U ou V est vide l’autre égale à X, ce qui nous donne le premier point. 1