Emmanuel Vieillard Baron www.les-mathematiques.net 1 Formes multilinéaires et déter- minant 1 Introduction Montrer qu’une application linéaire est inversible n’est à prioris pas chose évidente. Le déterminant permettra, dans certains cas, de montrer très facilement si une matrice est ou non inversible. Il permettra aussi, toujours dans certains cas, d’obtenir facile- ment l’inverse d’une matrice. Enfin, il servira, mais c’est pour une leçon prochaîne, à la diagonalisation et la trigonalisation des endomorphismes d’un espace vectoriel. Il constituera alors un pont entre la théorie des anneaux polynomiaux et celle de l’algèbre linéaire. Dans tout ce chapitre k désigne un corps. Rappelons qu’un corps est un espace vecto- riel sur lui même de dimension 1. 2 Formes multilinéaires Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit f : E ������ E � �� p fois  k � f est une forme p-linéaire ou une forme multilinéaire ( ou encore une p-forme li- néaire) sur E si pour tout i=1,...,p, pour tout x1,...,xi  1,xi 1,...,xp  E, l’application x  f  x1  ����  xi  1  x  xi 1  ��� xp  est linéaire de E dans k. On note  p(E) l’ensemble des p-formes linéaires sur E. Proposition Soit E un k-espace vectoriel. L’ensemble des p-formes linéaires sur E,  p(E) muni de l’addition des fonctions à valeurs dans k et de la multiplication par un scalaire a une structure de k-espace vectoriel. Démonstration On montre sans peine que c’est un sous espace vectoriel de l’es- pace des fonctions définies sur E et à valeurs dans k. Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit f une forme p-linéaire définie sur un k-espace vectoriel E. Si p=2, on dit que f est une forme bilinéaire. Si p=3, on dit que f est une forme trilinéaire. Définition Soit E un k-espace vectoriel. Une forme p-linéaire est dite alternée si pour tout (x1,...,xp)  Ep vérifiant  i  j � 1  ���  p   i   j xi=x j, alors f(x1,...,xp)=0. L’en- semble des formes p-linéaires alternées sur E est notée  p(E).