ARITHMETIQUE MATRICIELLE Guy PHILIPPE 25 juin 2003 Un petit probl`eme et son corrig´e Dans le petit probl`eme qui suit on se propose de pratiquer l’arithm´etique avec des matrices ( matrices premi`eres, d´ecomposition primaire unique, etc...). Il est `a noter que la multiplication des matrices n’est pas int`egre. Dans la suite, ”ou” d´esignera le ou inclusif et ”ou bien” le ou exlusif. Petit probl`eme On note M une matrice complexe de format nxn (n⩾ 2) et A l’alg`ebre des polynˆomes de M `a coefficients complexes. M d´esignera le polynˆome minimal de M, I la matrice unit´e et A∗ l’ensemble des matrices inversibles de A. Z(P) d´esignera l’ensemble des racines complexes du polynˆome P ∈ C[x] et Sp(M) l’ensemble des valeurs propres complexes de M i.e. le spectre de M. On rappelle que l’on a Sp(M) = Z(M). Une matrice P ∈ A sera par d´efinition premi`ere si et seulement si P = AB =⇒ A ou bien B ∈ A∗. Le lecteur qui voudra se convaincre du bien-fond´e et des avantages de cette d´efinition pourra se reporter `a l’article de Quadrature No47 intitul´e : plaidoyer pour une d´efinition de la primalit´e dans son cadre naturel, le demi-groupe qui est joint ici en compl´ement, apr`es le corrig´e du petit probl`eme. Ce qui caract´erise donc un ´el´ement premier c’est qu’il ne peut s’´ecrire comme produit de 2 facteurs que si l’un de ces facteurs est inversible et pas l’autre. Donc un ´el´ement premier p n’est ni inversible (sinon p serait produit de 2 inversibles 1 et p) ni un produit de 2 non inversibles. a. Montrer que A, en tant qu’espace vectoriel complexe, est de dimension finie puis l’´equivalence suivante : P(M) est inversible dans A ⇐⇒ Z(P) � Sp(M) = ∅. b. Montrer que P(M) est premi`ere dans A ⇐⇒ Z(P) � Sp(M) = {λ} o`u λ est une racine simple de P et une racine multiple de M. En d´eduire que, aux associ´ees pr`es, les matrices premi`eres de A sont les M − λI o`u λ est racine multiple de M. 1