Groupes quotients 1 Introduction La notion de relation d’équivalence utilisée au niveau des groupes va nous fournir un moyen de construire des groupes. Ces groupes s’appellent les groupes quotients et leur importance est capitale en mathématique. 2 Construction du quotient d’un groupe Dans toute cette leçon, (G,.) désigne un groupe et (H,.) désigne un sous groupe de G. On considère aussi la relation, si x et y sont éléments de G: x � y � x � 1 � y � H � Proposition La relation � définie par x � y � x � 1 � y � H est une relation d’équi- valence. Démonstration Triviale!! Définition On notera G � H l’ensemble G � � des classes d’équivalences de la re- lation � sur G. Proposition Soit x � G. La classe d’équivalence de x pour la relation x � y � y � x � 1 � H est l’ensemble Hx �� x � h; y � H � . Démonstration Soit y � G équivalent à x pour la relation � . Alors il existe h � H tel que x � 1 � y � h. Et donc y est élément de Hx. Réciproquement, si y est élémennt de xH, il est clair que y � x. Définition L’ensemble xH s’appelle classe à gauche de l’élément x de G. Remarque On aurait aussi put définir notre relation d’équivalence � par: x � y � y � x � 1 � H � Dans ce cas, la classe d’équivalence d’un élément x de G aurait été donné par l’en- semble Hx. 1