Espaces topologiques compacts 1 Introduction La compacité est une notion qui, tout comme la complètude, nous permettra de nous assurer de l’existence de certains objets mathématiques. Elle permettra ainsi de prédire l’ existence de la limite pour certaines suites ou l’ existence des extremums pour une fonction numérique. Elle servira, d’ autre part, a se ramener, partant d’ une situation présentant “un caractère infini” à une situation “finie” et exploitable. Les espaces compacts sont une généralisation, dans le cadre des espaces topologiques, de la notion d’intervalle fermé et borné de IR . 2 Notions de base Dans tout le chapitre, on se place sur un espace topologique (X, � ). Notation I désignera un ensemble quelconque (fini, dénombrable ou indénom- brable). Définition Soit � Ui � i � I �� (X). On dira que � Ui � i � I est un recouvrement ouvert de X si � i � I �Ui � � et que X  i � I Ui Remarque On parlera de recouvrement fini (resp. dénombrable, quelconque...) si I est fini (resp. dénombrable, quelconque...). Définition On dira que (X, � ) est un espace topologique séparé si pour tout x et y de X, il existe des ouverts Ox et Oy tel que x � Ox � y � Oy et Ox  Oy /0. Définition On dira que (X, � ) est un espace topologique compact si il vérifie: – (X, � ) est séparé. – De tout recouvrement ouvert de X, on peut extraire un recouvrement fini.(C.a.d si X  i � I Ui alors il existe I0 � I de cardinal fini tel que X  i � I0 Ui � On a la définition équivalente suivante: 1