Espaces métriques produits 1 Introduction La topologie produit va nous permettre de fabriquer des espaces métriques . Mais il faudra la définir en sorte que les propriétés topologiques des espaces qui composent le produit remontent sur la topologie du produit. Ainsi, si les espaces de départ sont compacts, ou connexes, il sera appréciable qu’il en soit de même de leur produit. 2 Notions de base On considère dans ce chapitre une famille d’espaces métriques �� Xi � di �� i � 1 � � k et soit X � k ∏ i � 1 Xi � Définition On appelle métrique produit la métrique d : X � X � IR  définie par : si x � � x1 � � �� � xk � X et y � � y1 �� �� � yk � X alors d � x � y � � k sup i � 1 di � xi � yi � Démonstration On vérifie sans peine que l’application ainsi définie sur X est bien une métrique . On peut alors énoncer la définition : Définition L’espace (X,d) est l’espace métrique produit des �� Xi � di �� i � 1 � � k. Proposition Soit r>0 et x � � x1 � � �� � xk � X. Soit B � x � r � la boule de X de rayon x et de centre r relative à la métrique d . Notons, pour i=1..k, B � xi � r � i la boule de Xi de centre xi et de rayon r relative à la métrique di . Alors B � x � r � =B � x1 � r � 1 � � �� � B � xk � r � k. Démonstration Soit y � � y1 �� �� � yk � B � x � r � . Alors, pour tout i=1,...,k, on a di � xi � yi � r et donc yi  B � xi � r � i . Réciproquement, si, pour tout i=1,...,k, yi vérifie di � xi � yi � r alors d � x � y � r et y  B � x � r � . Définition Pour tout i=1..k, on appelle projecteur de X sur Xi l’application Πi : X � Xi qui à un élément x � � x1 �� �� � xk � de X associe Πi � x � � xi. Proposition Les applications Πi pour i=1,..,k sont 1-Lipschitzienne et sont donc continues . Démonstration C’est immédiat, via la définition des Πi. 1