Théorème de Cauchy et théo- rèmes de Sylow 1 Introduction Le théorème de Lagrange nous apprend que l’ordre d’un élément dans un groupe fini est un diviseur de l’ordre du groupe. Le théorème de Lagrange peut s’énoncer encore sous la forme suivante: l’ordre d’un sous groupe d’un groupe engendré par un élément de ce groupe est un diviseur de l’ordre du groupe. Il est alors naturel de se poser le problème de la réciproque: – Si p est un diviseur de l’ordre d’un groupe existe-t-il un élément d’ordre p dans ce groupe? – Si p est un diviseur de l’ordre d’un groupe, existe-t-il un sous groupe d’ordre p dans ce groupe? Le théorème de Cauchy, puis ceux de Sylow qui sont une généralisation du premier, apporteront des éléments de réponse à ces questions. 2 Théorème de Cauchy Théorème de Cauchy Soit (G,.) un groupe fini et p un diviseur premier de l’ordre de G. Alors il existe un élément d’ordre p dans G. Démonstration Soit p un diviseur premier de ;;;G;;;. Considérons l’ensemble X � �� x1 ����� xp � � G  ���  G    p fois ;x1 � x2 ����� xp � e  où e désigne le neutre de G. Pour choisir un élément x de X, nous devons faire p-1 choix d’éléments dans G, donc le cardinal de X est ;;;G;;;p  1. On fait agir  /p  sur X de la façon suivante: (On commettra sans aucun scrupule l’abus de notation qui consiste à identifier la classe d’équivalence de i �  et l’élément de  compris entre 0 et p-1 qui est un représentant de cette classe d’équivalence. Autrement dit, on ne sera pas gêné par l’égalité i=k où k est le représentant de i qui est compris entre 0 (compris) et p (non compris)). Si x est l’élément (x1,...,xp) de X et si i est la classe d’équivalence de i (0  i