Anneaux et corps 1 Introduction Après avoir étudié la structure de groupes nous allons nous pencher sur celles d’an- neau et de corps. Les structures d’anneau et de corps sont des enrichissements de celle de groupe. En effet, un anneau ( ou un corps ) est un groupe muni d’une deuxième loi interne. Cette deuxième loi n’aura généralement pas, pour la structure d’anneau, toutes les propriétés de la première. Il lui manquera, en particulier, la possibilité d’un inverse pour chacun des éléments de l’anneau. La seconde loi d’un corps possèdera, quant à elle, toutes les propriétés de la première. La structure d’anneau sera le plus souvent ren- contrée sur des ensembles de fonctions ou de matrices. Celle de corps, beaucoup plus rare, est celle des ensembles Q , R et C munis de leurs lois additives et multiplicatives. D’autres ensembles bénéficient de cette structure mais ils sont moins accessibles. Il s’agit de IFp≃Z /pZ quand p est un nombre premier ou encore du corps des quaternions qui peut être vu comme un certain sous ensemble des matrices 4×4. 2 Anneau Définition Soit A un ensemble possédant deux lois internes que l’on note, par analogie avec Z , + et . . On dit que le triplet (A,+,.) possède une structure d’anneau si: – (A,+) a une structure de groupe abélien. Le neutre de la loi + est noté 0. – La loi . est distributive par rapport à la loi + : ∀ x,y,z ∈ A, x.(y + z) = x.y + x.z – La loi . est associative: ∀ x,y,z ∈ A, x.(y.z) = (x.y).z – Si de plus, il existe un élément neutre dans A pour la loi . ( que l’on note 1 et qu’on appelle élément unité de l’anneau) alors l’anneau A sera dit unitaire. Remarque On considérera toujours dans la suite des anneaux qui sont unitaires et on utilisera le mot anneau pour anneau unitaire. Remarque On notera -a l’inverse (l’opposé...) de a pour la loi +. Par abus d’écri- ture, on notera A l’anneau (A,+,.). Définition Si l’élément x d’un anneau possède un inverse pour la deuxième loi de cet anneau, on dira que x est un élément inversible de cet anneau et on notera x−1 son inverse.