Action de groupe 1 Introduction Certains ensembles mathématiques sont en interaction avec d’autres. Par exemple l’ensemble des symétries d’un cube est en interaction avec l’ensemble des sommets de ce cube: chaque symétrie du cube a pour effet de permuter les sommets du cube. L’en- semble des isométries de l’espace affine est en interaction avec l’ensemble des points de cet espace: à tout couple formé par une isométrie et un point x de l’espace, on peut associer le point image de l’isométrie au point x. La théorie des actions de groupe est née du besoin de formaliser et d’étudier ces interactions. Ces actions de groupes per- mettront aussi, couplées avec la notion de relation d’équivalence, de réunir des objets d’un ensemble suivant certaines caractéristiques ou qualités. Là encore nous dispose- rons d’un moyen de fabriquer de nouveaux ensembles mathématiques. Le champ d’in- tervention des actions de groupe se situe au niveau des mathématiques toutes entières. 2 Définition Dans tout le paragraphe qui vient, X désignera un ensemble et (G,.) un groupe. On notera e le neutre de G. Définition On dira que le groupe G agit (ou opère) sur l’ensemble X si il existe une application θ : G � X �� X telle que: – Pour tout x dans X, θ(e,x)=x. – Pour tout g1,g2 � G, θ(g1,θ(g2,x))=θ(g1.g2,x). On dira aussi que θ définit une action de G sur X. Remarque Afin de simplifier les notations, et quand aucune confusion n’est à craindre, on écrira, si g � G et x � X θ(g,x)=g.x . Définition Soit θ une action de G sur X. On dira que l’action est fidèle si θ vérifie: � x � X g.x=x alors g=e. Définition On dira que l’action θ de G sur X est transitive si � x � y � X � g � G � g � x y. Définition Soit x � X et soit θ une action de G sur X. – On appelle stabilisateur de x et on note stab(x) le sous ensemble de G donné par stab(x)=  g � G � g � x x  . – On appelle orbite de x et on note w(x) le sous ensemble de X donné par  g � x � g � G  . 1