Espaces métriques 1 Introduction Travailler dans IR est vite limitant. En effet, de nombreux problèmes ne peuvent se modéliser que sur des espaces vectoriels de dimension plus grande. Pensons par exemple à des modélisations de systèmes physiques comportant un nombre n de pa- ramètres. L’étude de ce système se fera via l’étude de fonctions possédant n variable et donc définies sur des (parties d’) espaces de dimension n. La possibilité d’utiliser de tels espaces est conditionnée par la possibilité de transposer les notions telles que la continuité des fonctions, la convergence des suites et voir même (mais ce sera pour la suite) les notions de dérivabilité, d’intégrabilité...Toutes ces notions ont un facteur commun, celui de faire intervenir la notion de distance ou de longueur. Ainsi l’on comprend l’importance de la possibilité de mesurer la distance entre deux points d’un espace donné. 2 Notions de base X désigne un ensemble. Définition Une application d : X2 � � IR � définit une métrique (ou une distance) sur X si elle vérifie: – � x � y � X d � x � y �� d � y � x � – � x � y � X d � x � y �� 0 x � y – L’inégalité triangulaire: � x � y � z � X d � x � z � d � x � y � d � y � z � Définition On appelle espace métrique tout couples (X,d) ou d est une métrique sur X. Exemple (IR ,;;; ;;;), (IRn,  k) où si x � y � X et si � xi � i  1   n �� yi � i  1   n désignent les co- ordonnées de x et y,  x � y  k �� n ∑ i  1  xi � yi  k � 1  k Dans toute la suite on considère un espace métrique (X,d) Définition Soit x0 � X. – On appelle boule ouverte de centre x0 et de rayon r l’ensemble  x � X;d � x � x0 � r  que l’on note B � x0 � r � . – On appelle boule fermée de centre x0 et de rayon r l’ensemble  x � X;d � x � x0 � r  que l’on note B f � x � r � ou encore B � x0 �� r � 1