Précompacité et théorème d’As- coli 1 Introduction Le théorème d’Ascoli est un profond résultat d’analyse fonctionnelle. Il nous ser- vira à illustrer la puissance du formalisme topologique sur des espaces abstraits comme les espaces de fonctions. Afin d’établir sa démonstration, nous introduirons la notion d’espaces précompacts. La précompacité nous donnera un critère de compacité des espaces complets. 2 Précompacité On considère dans cette partie un espace métrique (X,d). Définition On dit que la famille � xi;i � 1 ����� p � d’éléments de X est un ε-réseau de X si X= p � i � 1 B � xi � ε où B � x � ε désigne la boule fermée de centre x et de rayon ε. Définition On dit que (X,d) est précompact si  ε  0 il existe un ε-réseau de X. Proposition Si (X,d) est précompact, alors pour tout sous ensemble Y de X muni de la métrique induite (notée, par abus d’écriture, d): – (Y,d) est précompact. – (Y,d) est précompact. Démonstration – Montrons que (Y,d) est précompact. Soit ε  0 et soit � xi;i � 1 ����� p � un ε 2- réseau de X. En particulier, on a Y  p � i � 1 B � xi � ε 2 . Nommons A la sous famille de � xi;i � 1 ����� p � des éléments xi tels que B � xi � ε 2 intersecte Y. On peut écrire: Y  p � i � 1 B � xi � ε 2 . Le problème est que les xi de A ne sont pas nécessairement éléments de Y. Par contre, comme pour tout xi de A, B � xi � ε 2  Y  � /0, dans chacune de ces intersections, on peut trouver un élément yi de A tel que B � xi � ε 2  B � yi � ε � La famille � yi � est alors un ε-réseau de Y. 1