S Rouzes www.les-mathematiques.net 1 Quelques Thèmes sur les anneaux commutatifs 1 introduction Voici une succession de quelques thèmes sur les anneaux commutatifs unitaires. 2 Idéaux premiers Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire; soient a un idéal de A, n un entier non nul et b1 ����� bn des idéaux premiers de A. Alors on a: a �� 1 � i � n bi � � k   1 ����� n  a � bk � Démonstration Montrons cette propriété par récurrence sur n : Pour n=1, c’est clair. Supposons la propriété vraie jusqu’à l’ordre n (n  1), soient a un idéal de A et b1 ����� bn � bn  1 des idéaux premiers avec a � � 1 � i � n  1 bi. – 1er cas : il existe i   j dans  1 ����� n  1  tels que bi � b j. Cela implique qu’il existe une sous partie  b i  1 � i � n �  bi  1 � i � n  1 avec � 1 � i � n b i  � 1 � i � n  1 bi, et donc la propriété est prouvée car on peut appliquer l’hypothèse de récurrence. – 2ème cas : pour tout i   j dans  1 ����� n  1  on a bi  � b j. Alors pour tout i dans  1 ����� n  1  , il existe xi vérifiant : – xi  bi. – xi   b j pour tout j   i dans  1 ����� n  1  . Notons x= ∏ i  1      n  xi. Il est alors clair que pour tout k tel que 1  k  n, x  bk et que x   bn  1 (car bn  1 est premier). Supposons que l’on ait a  �� 1 � i � n bi et a  � bn  1 alors il existe: – a  a tel que a   � 1 � i � n bi (et donc a  bn  1). – a’  a tel que a’ inbn  1 (et donc a’  � 1 � i � n bi). Considérons alors a”=a+xa’. Clairement, a”  a , donc a  � 1 � i � n  1 bi. Soit r dans  1 ����� n  1  tel que a”  br. Si r=n+1, i.e. a”  bn  1, alors (a”-a)  bn  1 car a  bn  1 , et donc xa’  bn  1 , ce qui est impossible car x   bn  1, a’   bn  1 et bn  1 est premier. Donc on a 1  r  n; mais alors (a”-xa’)  br car x  br , et donc a  br