Topologie produit 1 Introduction La topologie produit va nous permettre de fabriquer des espaces topologiques. Mais il faudra la définir en sorte que les propriétés topologiques des espaces qui composent le produit remontent sur la topologie du produit. Ainsi, si les espaces de départ sont compacts, ou connexes, il sera appréciable qu’il en soit de même sur de leur produit. 2 Notions de base On considère dans ce chapitre une famille d’espaces topologiques �� Xi �� i �� i � 1 � � k et soit X � k ∏ i � 1 Xi � Définition Pour tout i=1..k, on appelle projecteur de X sur Xi l’application Πi : X  Xi qui a un élément x � � x1 � �� �� xk � de X associe Πi � x � � xi. Définition On appelle topologie produit, la topologie la moins fine sur X qui rend continue les applications Πi : X  Xi pour i=1..k. C’est à dire: si Oi est un ouvert de Xi, alors on veut que Π  1 � Oi � soit un ouvert de X. Remarque Cette définition est bien posée car il existe toujours une topologie sur X rendant continue les Πi. Au pire, il suffit de mettre sur X la topologie discrète . Notation On notera � la topologie produit. Proposition La topologie produit est la topologie engendrée par l’ensemble  Π  1 � Oi � ;Oi  � i;i � 1 �� k  . Démonstration Il suffit de relire la définition de la topologie engendrée par un en- semble: c’est la topologie la moins fine pour laquelle les éléments de l’ensemble sont des ouverts de cette topologie. On a d’ailleurs la définition suivante. Définition Les sous-ensembles O1 �� � Ok où O1 � 1 � ��� Ok � k sont appelés les ouverts élémentaires de la topologie produit. Remarque La propriété précédente pourrait s’exprimer comme suit: La topologie produit est la topologie engendrée par les ouverts élémentaires. 1