Emmanuel Vieillard Baron www.les-mathematiques.net 1 Ensembles ordonnés et axiome de choix 1 Introduction L’axiome de choix est un axiome rajouté à ceux de la théorie des ensembles. Les mathématiques ne sauraient existé sans cette axiome. C’est grâce à lui, que l’on peut, par exemple, affirmer l’existence du supplémentaire d’un sous espace vectoriel dans un espace vectoriel de dimension infini. Pourtant, depuis son apparition dans les ma- thématiques, il n’a cessé d’engendrer les polémiques et les problèmes. De lui découle des paradoxes tel que celui de Banach-Tachsky. Le droit à son utilisation divise encore les mathématiciens. Ce petit chapitre a pour but d’expliquer le lemme de Zorn, qui est équivalent à l’axiome de choix. Ce lemme sera utile à de nombreuses reprises par la suite. 2 Ensembles ordonnés Définition Soit E un ensemble. Un ordre partiel sur E est donné par une relation � vérifiant, si x, y � E: – � est réflexive: x � x. – � est transitive: si x � y et y � z alors x � z. – � vérifie: si x � y et y � x alors x=y. On notera � les relations d’ordre partiel par analogie avec la relation “être plus grand ou égal à” qui défini un ordre partiel sur � , par exemple. Définition Soit E un ensemble muni d’un ordre partiel � . On dit que les éléments x et y de E sont comparables si l’une des deux affirmations: xy ou yx est vraie. Définition Un ensemble est dit partiellement ordoné si il existe une relation sur E définissant un ordre partiel sur E. Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné et F une partie de E. F est alors lui aussi partiellement ordonné pour l’ordre induit de celui de E. On dit que F est partiellement ordonné pour l’ordre partiel induit de F. Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné pour une relation � . Un mi- nimum de E ou un plus petit élément de E est un élément a de E tel que � x � E a � x. Un maximum de E ou un plus grand élément de E est un élément b de E tel que � x � E x � b. Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné pour une relation � . Un élément m de E est dit élément maximal si il vérifie: si � x � E x � b alors x=b. De