Enseignement des mathématiques 1. J.-Y. Ouvrard, Probabilités I -2. J. Hubbard, B. West, Equations différentielles et systèmes dynamiques 3. M. Cottrell, V. Genon-Catalot, Ch. Duhamel, Th. Meyre, Exercices de probabilités 4. F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation 5. J.-Y. Ouvrard, Probabilités II 6. G. Zémor, Cours de cryptographie 7. A. Szpirglas, Exercices d'algèbre 8. B. Perrin-Riou, Algèbre, arithmétique et Maple 9. V. I. Arnold, Leçons sur les équations aux dérivées partielles (en préparation) 0-14. S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices de mathématiques — Oraux X-ENS 15. H. Krivine, Exercices de mathématiques pour physiciens 16. J. Jacod, Ph. Protter, Les bases de la théorie des probabilités 17. M. Willem, Analyse fonctionnelle élémentaire 18. É. Amar, E. Matheron, Analyse complexe 19. B. Randé, Problèmes corrigés. Concours 2002 et 2003 (MP) (en préparation) MICHEL WILLEM Analyse fonctionnelle élémentaire CASSINI Michel Willem est professeur de mathématiques à l'Université catholique de Louvain. Mathematics Subject Classification (2000) : 46-01, 35-01. ISBN 2-84225-066-4 © Cassini, Paris, 2003. A mes parents Introduction Un espace fonctionnel est un espace dont les points sont des fonctions. La résolution d'un problème d'analyse consiste souvent à choisir un espace fonctionnel muni d'une norme adéquate. Les espaces de Lebesgue réels Lp(fl,/j,), 1 ^ p < oo, munis de la norme \\u\\p=[J Wàp sont des espaces normes complets ou espaces de Banach. Si p = 2, la norme dérive du produit scalaire (u\v) = / u v d/4. Ja L'espace L2(f2,/x) est un espace de Hilbert. Les espaces de Hilbert généralisent les espaces euclidiens de dimension finie. Le produit scalaire permet de définir les notions d'orthogona- lité et de base hilbertienne. L'égalité de Parseval généralise le théorème de Pythagore. La norme permet de définir les notions de convergence et de continui