CALCUL INFINITÉSIMAL Jean Dieudonné CALCUL INFINITÉSIMAL COLLECTION ^jp MÉTHODES HERMANN, ÉDITEURS DES SCIENCES ET DES ARTS Deuxième édition revue et corrigée, 1980 Nouveau tirage, 1997 ISBN 2 7056 5907 2 & 1980, HERMANN, ÉDITEURS DES SCIENCES ET DES ARTS, 293 RUE LECOURBE, 75015 PARIS Toute reproduction ou représentation de cet ouvrage, intégrale ou partielle, serait illicite sans l'autorisation de l'éditeur et constituerait une contrefaçon. Les cas strictement limités à usage privé ou de citation sont régis par la loi du 11 mars 1957. Table Préface 13 Notations 19 0. PRÉLIMINAIRES 1. Ensembles et fonctions 23 2. Nombres réels et nombres complexes 24 3. Fonctions continues d'une variable réelle 25 4. Extensions des notions de dérivée et de primitive 27 5. Topologie du plan 31 I. MAJORER, MINORER 1. Opérations élémentaires 35 2. Séries et limites 38 3. Le théorème de la moyenne 41 4. L'inégalité de Gauchy-Schwarz 44 Problèmes 46 II. APPROXIMATION DES RACINES D'UNE ÉQUATION 1. Position du problème 53 2. Méthode de la fausse position (ou régula falsï) 55 3. Résolution de x = g(x) par itération 56 4. La méthode de Newton 58 Appendice : Séparation des racines d'un polynôme 61 Problèmes 65 III. DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES 1. Introduction 71 2. Fonctions de comparaison 72 g TABLE 3. Relations de comparaison 73 4. Calcul sur les relations de comparaison 75 5. Relation d'ordre dans 8 76 6. Développements asymptotiques 78 7. Calcul des développements asymptotiques 82 8. Développements asymptotiques des fonctions implicites 85 9. Convergence des intégrales impropres 89 10. Développement asymptotique d'une primitive 93 11. Convergence des séries et développements asymptotiques des sommes partielles 99 Appendice : Polygone de Newton et développements de Puiseux 106 Problèmes 112 IV. INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE 1. Introduction 121 2. La méthode de Laplace 121 3. Intégrales eulériennes 125 4. Méthode de la phas