THEOREMES SUR LES INTEGRALES Ceci est le chapitre 0 de ce livre. Il expose les conditions dans lesquelles on peut passer à la limite ou dériver sous le signe f. Les quatre chapitres suivants (I, II, III, et IV) en feront un usage constant. Il est donc indispensable de l'avoir soigneusement étudié avant de passer à la suite. Il comporte de très nombreux exercices qui consistent presque tous à effectuer concrètement des démonstrations qui ne seront reprises que très rapidement aux chapitres suivants. LEMME (inégalité de la moyenne). ]a, 6[ est un intervalle non nécessairement borné (c'est-à-dire qu'on peut avoir a = — oo ou b = +00J, fit) une fonction bornée sur ]a, b[, et g(t) une fonction telle que l'intégrale Jj 6r \g(t)\ dt soit convergente. Alors l'intégrale Jj 6r fit) g[t) dt est absolument convergente et on a f f(t)g(t)dt I < sup {;;;/(*);;;} X / \g(t)\dt (1) J]o>M ' te]a,b[ J]a,b[ Démonstration. L'inégalité de la moyenne est connue pour les sommes finies: si (¾} et {bj} (j = 1,2,3, ...n) sont deux suites finies, on aura toujours: j=n ._ j=n \Y,aJhj\ <™?{\aj\}x ^l^-l (2) j=i 3 j=i Or une intégrale est toujours une limite de sommes finies (les sommes de Riemann dans la théorie élémentaire, mais c'est vrai aussi pour n'importe quelle théorie de l'intégrale) ; et les inégalités larges passent à la limite. Il est toujours vrai que l'intégrale est une limite de sommes finies ; la difficulté, dans les diverses théories de l'intégrale, vient de l'existence ou de l'unicité de ces limites. En effet, pour avoir une notion d'intégrale cohérente, il faut que la valeur limite soit indépendante de la discrétisation de la fonction. L'exemple (scolaire) qu'on donne toujours pour illustrer ce problème est la fonction / ,\ _ / 1 si t est rationnel ; ^ 1 0 si t est irrationnel; Si on construit une somme de Riemann en discrétisant l'intervalle par tj = j/N, on obtient ri ^-1 3=0 f Jo 1 Théorèmes sur les intégrales tandis que si on discrétise par tj = jn/N, on obtient Jo E(N/ir)