NOUVELLE BIBLIOTHÈQUE MATHÉMATIQUE MICHEL DEMAZURE C A S S I N I nouvelle bibliothèque mathématique cours d'algèbre Nouvelle bibliothèque mathématique 1. M. Demazure, Cours d'algèbre 2. R. Mneimné, Éléments de géométrie. Actions de groupes 3. J.-R Kahane et P. G. Lemarié-Rieusset, Séries de Fourier et ondelettes 4. R. et A. Douady, Algèbre et théories galoisiennes 5. J.-L. Krivine, Théorie des ensembles 6. P. Gabriel, Matrices, géométrie, algèbre linéaire 7. M. Berger, Géométrie vivante, ou l'Échelle de Jacob 8. M. Artin, Algèbre 9. M. Willem, Principes d'analyse fonctionnelle 10. R. Lascar, La théorie des modèles en peu de maux MICHEL DEMAZURE Cours d'algèbre CASSINI àD3 Michel Demazure, mathématicien, a été professeur aux universités de Strasbourg (1964-66) et de Paris-Sud (1966-1976), et à l'École polytechnique de Palaiseau (1976- 1999). Il a dirigé le Palais de la découverte (1991-1998) et présidé la Cité des sciences et de l'industrie (1998-2002). Il préside le comité consultatif régional de la recherche de la région Languedoc- Roussillon (comité Arago). Depuis 2004, il réside en Touraine. ISBN 978-2-84225-127-7 © Cassini, Paris, 2008 Introduction Vingt-cinq siècles d'arithmétique L'arithmétique et l'algèbre ont toujours mêlé deux traditions, théorique et pratique, que Ton peut symboliser par les noms d'Eudoxe et de Diophante, bien que leurs origines soient sans doute antérieures. Et de toujours a été présente de façon confuse la distinction entre calculs théoriquement possibles et calculs effectivement réalisables. Mais ce n'est que récemment, dans le double développement des théories de la complexité et des outils informatiques, que les idées se sont éclaircies, que des énoncés précis ont pu être formulés et que des applications souvent spectaculaires ont été développées. C'est ainsi par exemple que la sécurité des transactions interbancaires par voie électronique repose essentiellement aujourd'hui sur l