Les Mathématiques pour l'Agrégation C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Château O. Teytaud 21 mai 2002 Table des matières 1 Notations et définitions usuelles 15 2 Ensembles ordonnés 17 3 Graphes 21 4 Théorie des ensembles - autres systèmes axiomatiques - construction des ensembles usuels 26 4.1 Les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel .... 26 4.2 La taille des ensembles : ordinaux, cardinaux 28 4.2.1 Les ordinaux 28 4.2.2 Les cardinaux 30 4.3 L'axiome d'accessibilité 36 4.4 L'hypothèse du continu 36 4.5 L'axiome de fondation 37 4.6 Résumé de théorie des ensembles 38 5 Topologie 40 5.1 Espaces topologiques 40 .1 Cas le plus général d'espace topologique 40 .2 Espaces métriques et espaces normes 41 .3 Notion de voisinage 45 .4 Fermeture, intérieur, extérieur, frontière 45 .5 Base d'ouverts et base de voisinages 48 .6 Continuité et limite 50 .7 Espace séparé 53 .8 Continuité et limite dans les espaces métriques ou normes . . 54 L.9 Valeur d'adhérence 58 5.2 Construction de topologies 59 5.2.1 Topologie quotient 59 5.2.2 Topologie sur un espace d'applications linéaires 60 5.2.3 Topologie définie par une famille de parties d'un ensemble . . 60 5.2.4 Topologie définie par une famille d'applications 61 5.2.5 Topologie produit 62 5.3 Compacité - liens entre complétude et compacité 64 5.3.1 Généralités 64 5.3.2 Le théorème de Tykhonov 69 5.3.3 Application aux espaces vectoriels normes 70 www. Jzf'es-Mathématiques, net 5.3.4 Espaces métriques compacts 73 5.4 Connexité 75 5.5 Complétude 81 5.5.1 Suites de Cauchy. Espace complet 81 5.5.2 Complété d'un espace métrique 86 5.6 Zoologie de la topologie 87 5.6.1 Séparation de fermés par des ouverts dans un métrique .... 87 5.6.2 Théorème de Baire 87 5.6.3 Distance d'un point à une partie 90 5.6.4 Approximation d'ouverts par des compacts 92 5.6.5 Homéomorphisme entre une boule fermée et un compact convexe d'intérieur non