ACADÉMIE DES SCIENCES DE HONGRIE LEÇONS D'ANALYSE FONCTIONNELLE PAR FRÉDÉRIC RIESZ et BÉLA SZ.-NAGI CINQUIÈME ÉDITION PARIS GAUTHIER-VILLARS EDITEUR—IMPRIMEUR—LIBRAIRE 55, QUAI DES GRANDS AUGUSTINS BUDAPEST AKADÉMIAI KIADÔ V., ALKOTMÂNY U. 21. 1968 @ AKADÉMIAI KIADÔ, BUDAPEST, 1968 PRINTED IN HUNGARY Zenemû Nyomda — Akadémiai Nyomda AVANT-PROPOS Le présent ouvrage développe les leçons que les deux auteurs ont professées au cours de plusieurs années aux Universités de Szeged et de Budapest sous les titres Fonctions réelles, Equations intégrales, Espace de Hilbert etc. Le premier manuscrit a été achevé en 1948, mais des difficultés techniques en ayant retardé l'impression, on y a ajouté dans Tentre-temps quelques paragraphes traitant des résultats les plus récents. La première partie, sur les théories modernes de la dérivation et de l'intégration, sert d'introduction à la seconde, qui traite des équations intégrales et des fonctionnelles et transformations linéaires. Cette division en deux parties correspond d'ailleurs à la division du travail entre les deux auteurs : quoiqu'ils aient travaillé ensemble, la première partie a été rédigée principalement par le premier, et la seconde par le second auteur. Les deux parties forment une unité organique et se groupent autour de l'idée d'opération linéaire. C'est cette idée qui se reflète aussi dans la méthode selon laquelle on édifie la théorie de l'intégrale de Lebesgue ; cette méthode, qui nous paraît plus simple et plus claire que celle fondée sur la mesure, a été utilisée par le premier auteur dans ses cours depuis plus d'une vingtaine d'années, sans être publiée sous sa forme définitive. La première partie commence par une démonstration directe du théorème de Lebesgue sur la dérivation des fonctions monotones, et l'on l'applique en particulier à l'étude des relations entre dérivées et intégrales des fonctions d'intervalle. On édifie ensuite la théorie de l'intégrale de