1 Master Mathématiques et Applications 1`ere année Aix-Marseille Université Année 2010-2011 Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires Correction Correction de l’exercice 1 1. On a affaire à une équation différentielle linéaire non-homogène. Pour la résoudre, il faut d’abord trouver la solution générale de l’équation homogène associée y′ = y, puis une solution particulière de l’équation complète. L’équation homogène se résout immédiatement comme suit y = Cet, où C ∈ R est une constante indéterminée. Pour trouver une solution particulière, on peut utiliser la méthode de la variation de la constante qui consiste à chercher une telle solution sous la forme y(t) = C(t)et. On calcule y′(t) = C′(t)et + C(t)et = C′(t)et + y(t). Ainsi, une telle fonction y est solution de l’équation complète si et seulement si on a C′(t)et = sin(t). On obtient C′(t) = e−t sin(t), il nous faut donc trouver une primitive de cette fonction C(t) = � t e−s sin(s) ds, par une double intégration par parties C(t) = −e−t sin(t) + � t e−s cos(s) ds = −e−t sin(t) − e−t cos(t) − � t e−s sin(s) ds = −e−t sin(t) − e−t cos(t) − C(t), d’où C(t) = −e−t 2 (sin(t) + cos(t)). En reportant ceci dans l’expression de y, on trouve la solution particulière y(t) = −1 2(sin(t) + cos(t)). In fine, la solution générale de l’équation est donnée par y(t) = Cet − 1 2(sin(t) + cos(t)), où C ∈ R est une constante arbitraire. Ces solutions sont bien sûr globales (i.e. bien définies pour toute valeur de t). F. BOYER - VERSION DU 7 OCTOBRE 2010