I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Les correspondances de Galois 1 Groupe de Galois Soit E une extension normale finie d’un corps K. L’ensemble des K-automorphismes de E forment un groupe pour la composition d’application. Définition Soit E une extension normale finie d’un corps K. Le groupe de tous les K-automorphismes de E sera appelé le groupe de Galois de l’extension E de K. Le groupe de Galois d’une extension E de K sera noté G � E � K � . Exemple � est une extension normale finie de � . Son groupe de Galois possède deux éléments : l’identité et le � -automorphisme σ qui associe à chaque nombre com- plexe z son conjugué z. Théorème Soit E une extension normale finie d’un corps K. G � E � K � est un groupe fini dont l’ordre est le degré galoisien � E : K � de l’extension. Démonstration G � E � K � est l’ensemble I de tous les K-isomorphismes de E dans une clôture normale de E. Or E est sa propre clôture normale car elle est une extension normale de K. D’où G � E � K �� I. Corollaire Soit E une extension normale finie d’un corps K. Ord � G � E � K �� � E : K � . 2 Les correspondance de Galois Soit E une extension finie de K. Définition L’extension finie E de K sera dite une extension galoisienne si, et seulement si, E est une extension normale et séparable de K. Exemple � est une extension galoisienne de � . Théorème Si E est une extension galoisienne de K, alors Ord � G � E � K ��� � E : K � Démonstration Nous avons Ord � G � E � K ��� � E : K ��� E : K � .