I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Corps des racines 1 Introduction Tous les corps considérés dans ce cours seront des corps commutatifs. Soit K un tel corps. Définition On dit qu’un corps E est une extension du corps K si, et seulement si, K est un sous-corps de E. Exemple � est une extension de � et de � . Exemple � est une extension de � �� 2 � . Exemple � � � 2 � est une extension de � . Exemple Le corps K � X � des fractions rationnelles à une indeterminée sur le corps K est une extension de K. Définition On appelle équation polynomiale sur K toute équation de la forme P � x � � 0, où P est polynôme appartenant à K  X  . Le degré de cette équation est le degré du polynôme. Les solutions de cette équa- tion P � x � � 0 sont les racines du polynôme P dans une extension E de K. Exemple Une équation de degré 1 est de la forme ax b � 0 où a  K  et b  K. Exemple Une équation de degré 2 est de la forme ax2 bx c � 0 où a  K  , b  K et c  K. Le but de ce cours est de répondre aux deux questions suivantes : Question 1 : Ayant une équation polynomiale de degré n sur un corps K, est-il possible de trouver une extension E de K, dans laquelle, l’équation possède une solution? Question 2 : Dans le cas où l’équation polynomiale P � x �� 0 possède une solution dans une extension E de K, sous quelles conditions cette solution s’exprime-elle, à partir des coefficients de P, à l’aide des quatre opérations et des radicaux?