I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Extensions normales Soit E une extension algébrique d’un corps K. E peut être un corps de rupture sur K pour un polynôme f � X �� K � X � sans être un corps de décomposition come le montre l’exemple suivant : Exemple � est un corps de rupture pour X3 � 2 sur � sans être un corps de dé- composition car nous avons : X3 � 2 � X � 3  2  X2  3  2X  3  4 et X2  3  2X  3  4 est irréductible dans �� X � . Définition Une extension algébrique E de K sera dite normale si, et seulement si, chaque fois que E est un corps de rupture pour un polynôme irréductible f � X �� K � X � sur K, il est un corps de décomposition pour f sur K. Ainsi, E est une extension normale de K si, et seulement si, chaque fois qu’un po- lynôme irréductible f � X �� K � X � possède une racine dans E, alors il se décompose en produit de facteurs linéaires dans E � X � . Parfois on exprime ceci en disant que E est une extension normale de K si, et seulement si, chaque fois qu’un polynôme irréduc- tible f � X �� K � X � possède une racine dans E, alors il possède toutes ses racines dans E. Exemple  est une extension normale de � car les polynôme irréductible dans �� X � sont de degré 1 ou 2. Exemple L’extension E �� 3  2 de � n’est pas normale car le polynôme X3 � 2 ��� X � possède une racine dans E sans se décomposer en produit de facteurs linéaires dans E � X � . Théorème Soit E un corps des racines pour le polynôme Q � X �� K � X � sur K. Soit f � K � X � un polynôme irréductible, a et b deux racines de f. Nous avons � E � a � : E �� � E � b � : E � . Démonstration Considérons le diagramme E � a � E � b �    E  K � a �  K � b �   K Si a1   an sont les racines de Q dans E, alors nous avons – E � K � a1    an � .