I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Racines de l’unité 1 Racines de l’unité Soit K un corps et n un entier naturel non nul. Définition Un élément a � K est une racine n`eme de l’unité si, et seulement si, an � 1 .Soit Sn � K � l’ensemble de toutes les racines n`eme de l’unité dans K. Cet en- semble est non vide car 1 � Sn � K � . Il résulte de cette définition que a � K est une racine n`eme de l’unité si, et seulement si, a est une racine du polynôme U � X � � Xn � 1 � K � X � . Exemple 1 � K est une racine n`eme de l’unité pour tout n �� � . i est une racine 4`eme de l’unité dans  . j � 1 2  i 3 2 est une racine cubique de l’unité dans  . Théorème Si m divise n, alors Sm � K � Sn � K � . Démonstration Si m divise n, alors n s’écrit n � pm où p ��� . Il en résulte � a � Sm � K �� � � am � 1 � � � an � amp � � am � p � 1 � � � a � Sn � K �� Théorème L’ensemble des racines n`eme de l’unité Sn � K � est un groupe multipli- catif. Démonstration Sn � K � � /0 comme nous l’avons vu. D’un autre côté, si a et b sont des racines n`eme de l’unité, alors a et b sont non nuls et vérifient  ab  1  n � an  b  1  n � an � bn �  1 � 1 ce qui prouve le théorème. Définition On appelle corps premier d’un corps K le plus petit sous-corps de K. Théorème Le corps premier de K est le sous-corps de K engendré par 1. Démonstration En effet, 1 appartient à tous les sous-corps de K . Il en résulte que le sous-corps de K engendré par 1 est le plus petit sous-corps de K c.d. son corps pre- mier. Théorème Le corps premier de K est l’intersection de tous les sous-corps de K.