I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Extensions simples 1 Extensions simples Définition Une extension E de K est simple si, et seulement si, il existe a � E tel que E � K � a � . Exemple ���� i � est une extension simple de � , K � X � est une extension simple de K. L’importance des extensions simples provient du fait que leurs structures peuvent être parfaitement déterminées d’une part et que la majorité des extensions que nous al- lons rencontrer sont en réalité des extensions simples. Nous allons déterminer la struc- ture d’une extension simple. Théorème Soit E � K � a � une extension de K. Il existe un homomorphisme d’an- neaux et un seul σ;K � X  E qui vérifie σ � X �� a et σ � k �� k pour tout k � K. Démonstration Soit σ;K � X  E l’application définie par σ � P �� P � a � pour tout P � K � X . Il est facile de vérifier que σ satisfait les condi- tions du théorème. Il nous reste à prouver l’unicité de σ. Si τ est une autre solution, alors nous avons pour tout P � i  n ∑ i  0 biXi dans K � X τ � P �� τ  i  n ∑ i  0 biXi  � i  n ∑ i  0 τ � bi � τ � X � i � i  n ∑ i  0 biai � P � a �� σ � P � D’où τ � σ. Définition - Notation Le sous-anneau de E engendré par K  a  sera noté K � a alors que K � a � désigne le sous-corps de E engendré K  a  . Théorème Im � σ � est le sous-anneau K � a de E engendré par K  a  . Démonstration Im � σ � est un sous-anneau de E. Il contient K � σ � K � et a � σ � X � . Si L est un sous-anneau de E contenant K  a  alors Im � σ � L car tout élément c de Im � σ � s’écrit c � P � a �� i  n ∑ i  0 biai � L. Définition Soit σ;K � X  E l’application définie par σ � P � � P � a � pour tout P � K � X . Considérons le noyau de σ. C’est un idéal de K � X .