I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Prolongement d’isomorphismes 1 Isomorphisme Nous rappelons qu’un homomorphisme de corps est un homomorphisme d’anneaux qui conserve l’élément neutre de la multiplication. Théorème Tout homomorphisme de corps est injectif. Démonstration Soit σ;K � � L un homomorphisme de corps. Ker � σ � est un idéal de K. Ker � σ �� � K car σ � 1 � � 1. Il en résulte Ker � σ � � � 0 � et par suite σ est injectif. Un homomorphisme injectif de corps σ;K � � L sera dit un isomorphisme de K dans L. Le but de ce chapitre est de répondre à la question suivante : Question : Ayant un isomorphisme σ;K � � K � , une extension simple E de K et une extension E � de K � , est-il possible de prolonger σ en un isomorphisme σ de E dans E � ? Définition Soit E et F deux extensions du même corps K. Un isomorphisme σ;E � � F de E dans F sera appelé un K-isomorphisme si, et seulement si, il laisse fixe tout élément de K c.à.d. σ � k � � k pour tout k � K. Exemple L’application ϕ; � � � � définie par ϕ � u � � u (le conjugué de u) est un -isomorphisme de � dans � . Théorème Soit E et F deux extensions du même corps K et σ;E � � F un K- isomorphisme. σ est une application K-linéaire. Démonstration Nous avons σ � ax � � σ � a � σ � x � � aσ � x � pour tout � a  x �� K E  Théorème Soit σ;K � � K � un isomorphisme de K sur K � , E une extension de K, E � une extension de K � et σ;E � � E � un isomorphisme qui prolonge σ. Nous avons  σ � E � : K � �  E : K  . Démonstration Soit b � e1  en  une base du K-espace vectoriel E et soit fi � σ � ei � pour i � 1  2  n. La famille  f1  fn  est une base du K � -espace vectoriel σ � E � .