FORMES DIFF´ERENTIELLES INTEGRALES CURVILIGNES Jean Paul TRUC Professeur de Math´ematiques Sp´eciales E.P.A 5 juin 2008 1 Formes diff´erentielles 1.1 D´efinitions D´efinition 1 On appelle forme diff´erentielle d´efinie sur l’ouvert Ω de Rn une application ω de Ω dans le dual de Rn. C’est donc une application qui prend ses valeurs dans un espace de formes lin´eaires. La diff´erentielle que nous avons d´ej`a rencontr´e va nous fournir un bon exemple. 1.2 Diff´erentielle d’une fonction D´efinition 2 Si f est de classe C1 sur l’ouvert Ω ⊂ Rn, `a valeurs dans R, la diff´erentielle de f not´ee df est d´efinie par : x ∈ Ω → dfx = n � i=1 ∂f ∂xi (x)dxi C’est une forme diff´erentielle sur l’ouvert Ω. En tant qu’application, elle s’´ecrit : df = n � i=1 ∂f ∂xi dxi (1) 1.3 Ecriture d’une forme diff´erentielle On note toujours dx1,...dxn la base duale de la base canonique {ei} de Rn. On rappelle que : dxi( � j xjej) = xj Pour tout x de Ω, ω(x) va donc s’´ecrire dans cette base, avec des coefficients ai qui d´ependent du point x = (x1,...,xn) : Voici donc l’´ecriture g´en´erale 1