Espaces vectoriels normés 1 Introduction Les espaces vectoriels normés (evn) sont des espaces métriques particuliers mais d’une importance capitale en analyse. Ainsi, le calcul différentiel a pour théatre les espaces de Banach qui sont des evn particuliers. D’autre part, beaucoups de résultats d’analyse fonctionnelle ont comme terrain d’appuis les espaces Hilbertiens, qui sont eux aussi des evn. Par ailleurs, un résultat propre , aux evn qui sont de dimension finie:l’équivalence des normes, a pour conséquence que tout les evn de même dimension (sur um même corps de base) sont homéomorphes. Il suffira de connaître alors les propriétés topologiques de kn, où k désigne le corps de base de notre espace vectoriel E et n sa dimension, pour tout savoir de la topologie de E. 2 Notions de base On considère dans tout ce chapitre un espace vectoriel réél ou complexe E. On no- tera k le corps de base. Donc k=IR ou IC . Définition �� : E �� IR � est une norme sur E si: – x � E � x � =0 � x � 0. – λ � k � x � E � λx � =;;;λ;;; � x � où ;;; ;;; désigne la valeurs absolue si k=IR ou le module si k=IC . – � � vérifie l’inégalité triangulaire: x � y � E � x  y � � x � + � y � . Proposition Si �� est une norme sur E alors ;;; � x � - � y � ;;; � x � y � . Démonstration A écrire! Définition Un espace vectoriel normé est la donnée d’un espace vectoriel E et d’une norme �� sur E. On notera (E, �� ) le couple formé par l’espace vectoriel et sa norme. Proposition fondamental Un evn est un espace métrique : il suffit de poser, si x,y � E, d(x,y)= � x � y � et d ainsi définie est une métrique. Cette métrique sera appelée métrique associée à la norme �� . Les espaces vectoriels normés sont donc des espaces métriques (et à fortioris des espaces topologiques). Exemple Quelques exemples d’evn : – (E=IR n, �� k) où si x � X et si  xi  i  1   n � désignent les coordonnées de x, � x � k � n ∑ i  1  xi  k  1 k 1